Дистрибутивность относительно сложения векторов доказательство

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия
Bodrenko.com
Bodrenko.org

1.2 Операции над векторами.

Сложение векторов. Сумма векторов а и b определяется следующим образом. Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть В — конец этого вектора, т.е. а = . Затем отложим вектор b от точки В, пусть b = . Суммойа + bвекторова и b называется вектор, порожденный направленным отрезком (рис.1)
.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор а + b для неколлиниарных векторов а и b может быть получен (рис.2) как диоганаль параллелограмма, построенного на векторах а и b. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

Теорема 2.1. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1)а + b = b + а, ∀ а, b (свойство коммутативности);
2) (а + b) + с = а + (b + с), ∀ а, b, с (свойство ассоциативности);
3) существует такой вектор 0, называемый нулевым вектором, что
а + 0 = 0 + а = а, ∀ а (свойство существования нейтрального элемента);
4) для любого вектора а существует такой вектор — а (называемый противоположным к вектору a), что а + (- а) = 0 (свойство существования симметричного элемента).

Доказательство. Коммутативность и ассоциативность сложения в случае неколлиниарных векторов а, b и с проверяется непосредственным построением (рис.3) векторов левой и правой частей соответствующих равенств.

Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором 0 будет класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, противоположным к вектору а = будет вектор
-а = .Теорема доказана.

Разностьювекторов b и а называется вектор x такой, что а + x = b. Обозначение: b — а.

Теорема 2.2. Для любых векторов а и b существует, и притом единственная, разность b — а.

Доказательство. В качестве разности b — а можно взять вектор b + (- а), так как а + (b + (- а)) = а + ((-а) + b) = (а + (-а)) + b = 0 + b = b. Эта разность единственная, так как если с − еще одна разность, то с = с + 0 = (с + а) + (-а) = b + (-а).
Теорема доказана.

Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлиниарных векторов а и b позволяет построить и разность b — а как другую диагональ параллелограмма (рис.4).

Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число α называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:
1) |b| = |α|•|а| и, в случае b ≠ 0,
2) b ↑↑ а, если α > 0, и b ↑↓ а, если α

Векторное произведение векторов и его свойства

Вектор называется векторным произведением неколлинеарных векторов и , если:

1) его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: (рис.1.42);

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) векторы , , (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение обозначается (или ).

Алгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов , , и любого действительного числа :

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство «противоположно» закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.

Докажем первое свойство, предполагая, что векторы и не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы и имеют равные длины и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости). По определению тройки векторов и — правые, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть из конца вектора , а вектор направлен так, что кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора (рис. 1.43). Это означает, что векторы и противоположно направлены. Следовательно, , что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. пункт 1 замечаний 1.13).

1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения означают линейность векторного произведения по первому множителю:

для любых векторов и любых действительных чисел и .

2. В силу антисимметричности векторное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.

Геометрические свойства векторного произведения

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).

2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: , или , или . В каждом из этих случаев векторы и коллинеарны (см. разд. 1.1).

Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах , где , угол между векторами и равен (рис. 1.44).

Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение

а затем его модуль .

По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна , а площадь треугольника в 2 раза меньше: .

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Векторные произведения базисных векторов находятся по определению:

Формулы (1.14) можно получить, используя диаграмму (рис. 1.45): если на этой схеме кратчайший поворот от первого множителя ко второму совершается в положительном направлении (указанном стрелкой), то произведение равно третьему вектору, а если — в отрицательном направлении, то произведение равно третьему вектору, взятому со знаком минус (противоположному вектору).

Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей. Пусть в стандартном базисе векторы и имеют координаты и соответственно. Тогда, используя линейность векторного произведения по любому множителю (см. пункт 2 замечаний 1.12) и формулы (1.14), получаем

Запишем это равенство при помощи определителей второго порядка:

Правую часть (1.15) можно представить как результат разложения символического определителя третьего порядка по первой строке

Формула вычисления векторного произведения

Теорема 1.8 (формула вычисления векторного произведения). Если векторы и в правом ортонормированием базисе имеют координаты и соответственно, то векторное произведение этих векторов находится по формуле (1.15), которую принято записывать в виде

Если и — координатные столбцы векторов и в стандартном базисе, то координатный столбец векторного произведения находится по формуле

В самом деле, выполняя умножение матрицы на столбец, получаем

Тогда , что совпадает с (1.15).

Пример 1.20. Параллелограмм построен на векторах (рис. 1.46). Найти:

Решение. а) Векторное произведение находим по формуле (1.16):

Для нахождения векторного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.15) (см. теорему 1.8). Векторам и соответствуют координатные столбцы .

По указанной формуле получаем координатный столбец вектора :

то есть . Результаты совпадают.

Векторное произведение находим, используя алгебраические свойства:

б) Площадь параллелограмма находим как модуль векторного произведения :

в) Вектор, противоположный вектору , удовлетворяет перечисленным в условии требованиям, поэтому

Разделив этот вектор на его длину , получим единичныи вектор:

Согласно его координатами служат направляющие косинусы

Векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой, что:

• 1) ,
• 2) и , (14)
• 3) образуют правую тройку векторов.

Понятие векторного произведения также пришло из механики: если — это сила, приложенная в точке М, вектор =, то векторное произведение — это момент силы относительно точки О.

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны:

Доказательство. Пусть угол между векторами и равен .

2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство. Из курса геометрии

Из свойства 2 следует, что , где — единичный вектор, перпендикулярный векторам и и образующий с ними правую тройку:

• а) =1,б) , ,
• в) , , — правая тройка.

Доказательство. Модули векторов и равны по определению векторного произведения. Проверим их направление:

• а) || равенство выполняется;
• б) и не параллельны. Но || по определению векторного произведения, тогда либо , либо . Пусть , а . Тройка векторов правая, а тройка — левая. Следовательно, и = .
• 4. Ассоциативность относительно умножения на число.

где — угол между векторами и , а — угол между векторами и .

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов

💡 Видео