Если два угла равны то можно описать окружность

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Если два угла равны то можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Если два угла равны то можно описать окружностьАВС.

Доказать: около Если два угла равны то можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Если два угла равны то можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Если два угла равны то можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Если два угла равны то можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Если два угла равны то можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если два угла равны то можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Если два угла равны то можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Если два угла равны то можно описать окружностьВ = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьАDС, Если два угла равны то можно описать окружностьD = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьАВС, откуда следует Если два угла равны то можно описать окружностьВ + Если два угла равны то можно описать окружностьD = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьАDС + Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьАВС = Если два угла равны то можно описать окружность(Если два угла равны то можно описать окружностьАDС + Если два угла равны то можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если два угла равны то можно описать окружностьАDС + Если два угла равны то можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Если два угла равны то можно описать окружностьВ + Если два угла равны то можно описать окружностьD = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Если два угла равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла равны то можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Если два угла равны то можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружностьВСDвнешний угол Если два угла равны то можно описать окружностьСFD, следовательно, Если два угла равны то можно описать окружностьBСD = Если два угла равны то можно описать окружностьВFD + Если два угла равны то можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Если два угла равны то можно описать окружностьВFD = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВАD и Если два угла равны то можно описать окружностьFDE = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Если два угла равны то можно описать окружностьBСD = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВАD + Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕF = Если два угла равны то можно описать окружность(Если два угла равны то можно описать окружностьВАD + Если два угла равны то можно описать окружностьЕF), следовательно, Если два угла равны то можно описать окружностьВСDЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВАD.

Если два угла равны то можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если два угла равны то можно описать окружностьBАD = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВЕD, тогда Если два угла равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла равны то можно описать окружностьBСDЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность(Если два угла равны то можно описать окружностьВЕD + Если два угла равны то можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если два угла равны то можно описать окружностьВЕD + Если два угла равны то можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Если два угла равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла равны то можно описать окружностьBСDЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Если два угла равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла равны то можно описать окружностьBСDЕсли два угла равны то можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Если два угла равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла равны то можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Если два угла равны то можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Если два угла равны то можно описать окружностьВСF: Если два угла равны то можно описать окружностьС + Если два угла равны то можно описать окружностьВ + Если два угла равны то можно описать окружностьF = 180 0 , откуда Если два угла равны то можно описать окружностьС = 180 0 — ( Если два угла равны то можно описать окружностьВ + Если два угла равны то можно описать окружностьF). (2)

Если два угла равны то можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если два угла равны то можно описать окружностьВ = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕF. (3)

Если два угла равны то можно описать окружностьF и Если два угла равны то можно описать окружностьВFD смежные, поэтому Если два угла равны то можно описать окружностьF + Если два угла равны то можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Если два угла равны то можно описать окружностьF = 180 0 — Если два угла равны то можно описать окружностьВFD = 180 0 — Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Если два угла равны то можно описать окружностьС = 180 0 — (Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕF + 180 0 — Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВАD) = 180 0 — Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕF — 180 0 + Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВАD = Если два угла равны то можно описать окружность(Если два угла равны то можно описать окружностьВАDЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕF), следовательно, Если два угла равны то можно описать окружностьСЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВАD.

Если два угла равны то можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если два угла равны то можно описать окружностьА = Если два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружностьВЕD, тогда Если два угла равны то можно описать окружностьА + Если два угла равны то можно описать окружностьСЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность(Если два угла равны то можно описать окружностьВЕD + Если два угла равны то можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Если два угла равны то можно описать окружностьА + Если два угла равны то можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Углы, связанные с окружностью

Если два угла равны то можно описать окружностьВписанные и центральные углы
Если два угла равны то можно описать окружностьУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Если два угла равны то можно описать окружностьДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Если два угла равны то можно описать окружность

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Если два угла равны то можно описать окружность

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголЕсли два угла равны то можно описать окружность
Вписанный уголЕсли два угла равны то можно описать окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголЕсли два угла равны то можно описать окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголЕсли два угла равны то можно описать окружностьДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголЕсли два угла равны то можно описать окружностьВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаЕсли два угла равны то можно описать окружность

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Если два угла равны то можно описать окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Если два угла равны то можно описать окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Если два угла равны то можно описать окружность

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Если два угла равны то можно описать окружность

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Если два угла равны то можно описать окружность

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Если два угла равны то можно описать окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность
Угол, образованный касательной и секущейЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность
Угол, образованный двумя касательными к окружностиЕсли два угла равны то можно описать окружностьЕсли два угла равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Если два угла равны то можно описать окружность
Формула: Если два угла равны то можно описать окружность
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Если два угла равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Если два угла равны то можно описать окружность
Формула: Если два угла равны то можно описать окружность
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Если два угла равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Если два угла равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Если два угла равны то можно описать окружность

В этом случае справедливы равенства

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Если два угла равны то можно описать окружность

В этом случае справедливы равенства

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Если два угла равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Если два угла равны то можно описать окружностьДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Если два угла равны то можно описать окружность

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Если два угла равны то можно описать окружностьПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Если два угла равны то можно описать окружностьПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

🎥 Видео

Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратомСкачать

Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом

№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.Скачать

№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Вариант Nº2 - Уровень сложности реального ЕГЭ2024 | Математика профильСкачать

Вариант Nº2 - Уровень сложности реального ЕГЭ2024 | Математика профиль

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj
Поделиться или сохранить к себе: