Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Свойства вписанного в круг прямоугольника

Геометрия периметр вписанного в круг прямоугольника.

Мы продолжаем находить свойства геометрических фигур с помощью перпендикулярных друг другу прямых. Мы уже нашли новое прочтение теоремы Пифагора,формулу площади треугольника
и площади круга.
Сегодня будем говорить о свойствах четырехугольника вписанного в круг.
Простейший вариант (Рис. 1) перпендикулярные прямые проходят через центр круга и прямоугольник это вписанный квадрат.
По теореме Пифагора нетрудно вычислить, что

СУММА СТОРОН КВАДРАТА РАВНА УДВОЕННОМУ КВАДРАТУ ДИАМЕТРА.
Далее ( Рис 2 ) . сумма квадратов сторон стремится к квадрату диаметра.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьв (2), получим:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Нахождение периметра прямоугольника 3 классСкачать

Нахождение периметра прямоугольника 3 класс

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьв (4), получим:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Математика 2 класс (Урок№49 - Периметр прямоугольника.)Скачать

Математика 2 класс (Урок№49 - Периметр прямоугольника.)

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьв (5), получим:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(6)
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(8)
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьКак найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность, а периметр равен Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность, Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьв (11):

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Подставляя значения Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьи Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьв первую формулу (12), получим:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьи Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружностьв формулу, получим:

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность, Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Видео:Как найти периметрСкачать

Как найти периметр

Периметр прямоугольника

Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

Периметр прямоугольника — это сумма
всех сторон прямоугольника.

Периметр прямоугольника можно рассчитать
через четыре стороны, через смежные стороны,
через диагональ, через площадь,
через радиус описанной окружности.

Самый простой способ найти периметр
прямоугольника, это сложить все стороны.

Также, исходя из свойства прямоугольника, — «противоположные
стороны равны и параллельны», можно сказать, что периметр
численно равен удвоенной сумме ширины и высоты — двух
смежных сторон прямоугольника.

Кроме этих двух способов периметр прямоугольника
можно найти через другие величины. Например, через
площадь прямоугольника, диагональ прямоугольника, и так далее.

В прямоугольник невозможно вписать окружность,
поэтому выразить периметр через вписанную
окружность не получится.

Единицы измерения периметра прямоугольника:
км
, м, дм, см, мм.

Формулы периметра прямоугольника

  1. Периметр прямоугольника через четыре стороны
    Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

a, b, c, d — стороны прямоугольника;
a || c, b || d;
a = c, b = d;
Периметр прямоугольника через смежные стороны
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

a, b — смежные стороны;
a ≠ b;
Периметр прямоугольника через любую сторону и диагональ
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

b — любая сторона;
c — диагональ;
Периметр прямоугольника через любую сторону и площадь
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

b — любая сторона;
S — площадь;
Периметр прямоугольника через любую сторону и радиус описанной окружности
Как найти периметр прямоугольника вписанного в окружность

b — любая сторона;
R — радиус описанной окружности;

Полупериметр

Полупериметр — это половина периметра.

Обозначается латинской буквой p.

Чтобы найти полупериметр нужно разделить
периметр на два, или домножить периметр на 0.5.

[ p = frac

= P cdot 0.5 ]

Полупериметр применяется в некоторых формулах
нахождения разных величин прямоугольника. Вместо того,
чтобы вычислять периметр, в таких формулах
удобней вычислять полупериметр.

Основные определения и величины

Длина прямоугольника — это длинная сторона
/ наибольшая сторона прямоугольника.

Обозначается латинской буквой a.

Ширина прямоугольника — это широкая сторона
/ наименьшая сторона прямоугольника.

Обозначается латинской буквой b.

Сторона прямоугольника — это ширина или длина прямоугольника,
в зависимости от численного значения длины стороны.

Обозначается латинской буквой a или b.

Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий
противоположные стороны прямоугольника.

Обозначается латинской буквой c или d.

Средняя линия прямоугольника — это отрезок, соединяющий
наименьшие параллельные стороны прямоугольника друг с
другом, причем делящий их пополам на равные отрезки.

Обозначается латинской буквой l.

Радиус описанной окружности прямоугольника — это отрезок,
соединяющий центр описанной около треугольника
окружности и произвольную точку на окружности.

Обозначается латинской буквой R.

Высота прямоугольника — это любая сторона прямоугольника,
а также любой отрезок в прямоугольнике, образующий угол в 90 градусов.

Обозначается латинской буквой h.

💡 Видео

Как найти периметр прямоугольника и квадратаСкачать

Как найти периметр прямоугольника и квадрата

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?Скачать

Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Как найти площадь и периметр прямоугольника?Скачать

Как найти площадь и периметр прямоугольника?

Как найти периметр?Скачать

Как найти периметр?

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Урок. Как найти периметр прямоугольника. Математика 2 класс. #учусьсамСкачать

Урок. Как найти периметр прямоугольника.  Математика 2 класс.  #учусьсам
Поделиться или сохранить к себе: