Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол DAC равен 90°, а в 2 раза больше угла ADB. Сумма угла DBС и удвоенного угла ADС равна 180°.
а) Докажите, что ВР = 2AP.
б) Найдите площадь четырёхугольника AВCD, если BD = 8 и точка Р является серединой диагонали BD.
а) Пусть биссектриса угла РСВ пересекает отрезок РВ в точке М. Обозначим буквой β угол ADB. Получаем, что
Так как 
по свойству вертикальных углов, треугольники APD и МРС подобны, поэтому ∠PMC = 90°. Таким образом, в треугольнике ВСР биссектриса СМ является высотой, а значит, треугольник ВСР равнобедренный и PM = MB, CP = CB.
В треугольнике DBC:
Из этого равенства и из того, что 
следует, что ∠PCD = ∠PDC. Поэтому треугольник PCD равнобедренный и PD = PC. Значит, треугольники APD и МРС равны, поэтому 
откуда следует, что BP = 2AP.
б) Точка Р является серединой отрезка BD, поэтому 
Отсюда следует, что треугольник ВСР равносторонний, поэтому ∠BPC = 60°. Из равенства 
получаем, что AP = 2 и 
Теперь найдём площадь четырёхугольника AВCD:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=ODСкачать  Решение №1604 В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке Р.В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников АРВ и СРD равны. Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.
Рассмотрим два других треугольника ΔАDB и ΔАDС. Докажем, что их площади равны. У них общее основание АD. В каждом из них проведём высоты ВН и CN они будут равны как высоты трапеции. Т.к. высоты CN = BH, то SADB = SADC. Т.к. SADB = SADC, то и SАРВ = SСРD . Видео:№402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольникиСкачать  Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что произведение площадей треугольников AOB и COD равноВидео:№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать  Ваш ответВидео:№43. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Известно, что углы BAC и ADC прямыеСкачать  Похожие вопросы
Популярное на сайте: Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так. Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 🎥 ВидеоГеометрия В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, чтоСкачать  Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOCСкачать  №1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать  25)В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треСкачать  Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, AB = 7. Найдите DO.Скачать  №478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать  №552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать  ОГЭ по математике. Задание 15Скачать  №748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать  #26. EGMO-2022, Problem 6Скачать  Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80Скачать  №403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметрСкачать  Задания 23,24. Тест 21. ОГЭ. Математика.Скачать  Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O,AC = 12, BD = 20, AB = 7. Найдите DO.Скачать  Геометрия Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис.) пересекаются в точке O, угол ABD = 64. НайдитеСкачать  Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать  |
