Диагонали четырехугольника авсд пересекаются в точке о под прямым углом

Диагонали четырехугольника авсд пересекаются в точке о под прямым углом

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.

а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, следовательно, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равны 90°, тогда имеем конфигурацию как на рисунке справа.

Заметим, что сумма углов BAD и BCD равна:

Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

б) Обозначим сторону BO буквой a, сторону OC буквой b, тогда:

Из этого следует, что стороны AO и OC равны.

Пусть OB равно x, тогда

при

С учетом симметрии, можно выбрать любое значение для x. Пусть OB равно 1, а OD — 25, тогда:

Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:

Найдем площадь четырехугольника ABCD:

Вычислим искомый радиус:

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Диагонали четырехугольника авсд пересекаются в точке о под прямым углом Задание 16. В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О. а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 12, BD = 13. а)В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O, следовательно, Пусть (так как треугольники ABO и CBO подобны по условию задания). Так как , то и . Так как треугольники BCOи COD подобны, то . Так как треугольники OCDи OADподобны, то . Треугольники ABC и ADC – равнобедренные со сторонами AB = BC и AD = DC. Следовательно, и это означает, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. б)Радиус r вписанной окружности можно найти из площади четырехугольника ABCD: где P – периметр четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой OB, которая также является его высотой и медианой. Следовательно, AO=OC=6. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD с прямым углом . Следовательно, CO – высота. Пусть BO = y, тогда OD=13-yи Решаем квадратное уравнение, получаем корни: То есть, BO=4, OD = 9 или, наоборот, BO=9, OD=4. Возьмем первый вариант. Тогда: Следовательно, . Получаем периметр и площадь четырехугольника ABCD: И радиус вписанной окружности, равен: Ответ: Диагонали четырехугольника авсд пересекаются в точке о под прямым углом В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин – точка О. а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13. Решение: а) Δ ABO = ΔCBOпо катету и острому углу (BO–общая сторона, ∠ АВО = ∠СВО — по условию ) → АВ = СВ и АО = СО; Δ ADO = ΔCDO по катету и острому углу (DO – общая сторона, ∠ АDО = ∠ СDО — по условию ) → АD = СD и АО = СО; Т.к. AB = CB и AD = CD, то AB + CD = CB + AD→ в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. б) Т.к. АО = СО и АС = 12, то АО = СО = 6 Пусть BO = y, тогда DO = 13 — y По свойству пересекающихся хорд AO⋅CO = BO⋅DO: Если у = 4, то ВО = 4и DO = 9 Если у = 9, то BO = 9 иDO = 4 Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна S = pr, где p–полупериметр четырехугольника, S–площадь четырехугольника, r–радиус вписанной окружности. Поделиться или сохранить к себе: Search for: Треугольник Как найти центр треугольника разностороннего 866 Треугольник Параллельная линия треугольника авс 865 Треугольник Где используется треугольник в строительстве 878 Окружность Углы синус которых равен 1 2 на окружности 889 Прямые Через вершину b треугольника abc проведена прямая параллельная прямой ac 869 Смотрите также Является ли четырехугольник прямоугольником если все его углы равны все его стороны равны Является ли четырехугольник параллелограммом если сумма его соседних углов равна 180 градусам Является ли четырехугольник параллелограммом если сумма его соседних углов равна 180 degree180 Является ли четырехугольник параллелограммом если его противоположные углы равны да или нет Чья комната походила как будто на сарай имела неправильный вид четырехугольника Что можно сказать о четырехугольнике если серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке Четырехугольники авсд и дсеф имеют общую сторону сд точки а д ф Четырехугольник является правильным если все его стороны равны и один из углов О сайте \| \| © 2026 Курс школьной геометрии.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Диагонали четырехугольника авсд пересекаются в точке о под прямым углом

Задание 16. В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 12, BD = 13.

а)В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O, следовательно,

Пусть (так как треугольники ABO и CBO подобны по условию задания). Так как , то и . Так как треугольники BCOи COD подобны, то . Так как треугольники OCDи OADподобны, то . Треугольники ABC и ADC – равнобедренные со сторонами AB = BC и AD = DC. Следовательно,

и это означает, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

б)Радиус r вписанной окружности можно найти из площади четырехугольника ABCD:

где P – периметр четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой OB, которая также является его высотой и медианой. Следовательно, AO=OC=6. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD с прямым углом . Следовательно, CO – высота. Пусть BO = y, тогда OD=13-yи

Решаем квадратное уравнение, получаем корни:

То есть, BO=4, OD = 9 или, наоборот, BO=9, OD=4. Возьмем первый вариант. Тогда:

Следовательно, . Получаем периметр и площадь четырехугольника ABCD:

И радиус вписанной окружности, равен:

Ответ:

Диагонали четырехугольника авсд пересекаются в точке о под прямым углом

В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин – точка О.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.

Решение:

а) Δ ABO = ΔCBOпо катету и острому углу (BO–общая сторона, ∠ АВО = ∠СВО — по условию ) → АВ = СВ и АО = СО;

Δ ADO = ΔCDO по катету и острому углу (DO – общая сторона, ∠ АDО = ∠ СDО — по условию ) → АD = СD и АО = СО;

Т.к. AB = CB и AD = CD, то AB + CD = CB + AD→ в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

б) Т.к. АО = СО и АС = 12, то АО = СО = 6

Пусть BO = y, тогда DO = 13 — y

По свойству пересекающихся хорд AO⋅CO = BO⋅DO:

Если у = 4, то ВО = 4и DO = 9

Если у = 9, то BO = 9 иDO = 4

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна S = pr, где p–полупериметр четырехугольника, S–площадь четырехугольника, r–радиус вписанной окружности.