В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, следовательно, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равны 90°, тогда имеем конфигурацию как на рисунке справа.
Заметим, что сумма углов BAD и BCD равна:
Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Обозначим сторону BO буквой a, сторону OC буквой b, тогда:
Из этого следует, что стороны AO и OC равны.
Пусть OB равно x, тогда
при 
С учетом симметрии, можно выбрать любое значение для x. Пусть OB равно 1, а OD — 25, тогда:
Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:
Найдем площадь четырехугольника ABCD:
Вычислим искомый радиус:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Видео:№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать  Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке o под прямым углом найдите площадь треугольникаЗадание 16. В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О. а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 12, BD = 13. а)В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O, следовательно, Пусть и это означает, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. б)Радиус r вписанной окружности можно найти из площади четырехугольника ABCD: где P – периметр четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой OB, которая также является его высотой и медианой. Следовательно, AO=OC=6. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD с прямым углом Решаем квадратное уравнение, получаем корни: То есть, BO=4, OD = 9 или, наоборот, BO=9, OD=4. Возьмем первый вариант. Тогда: Следовательно, И радиус вписанной окружности, равен: Ответ: Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=ODСкачать  1) Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекаются в точке O?Геометрия | 10 — 11 классы 1) Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Из точки O проведены перпендикуляр OM к прямой AB и перпендикуляр OK к плоскости четырехугольника. Докажите, что угол между прямыми MK и AB прямой. Найдите расстояние от точки B до плоскости OKM, если KM = корень из 3, угол MKB = 30 градусов. 2) В треугольнике ABC AC = BC = 10 см, угол В = 30 градусам. Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника, BD = 5 см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости ADC.
1. a) КО — перпендикуляр к плоскости АВСД. КМ — наклонная, перпендикуляр ОМ — проекция наклонной. Теорема о 3 — х перпендикулярах : Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. б) ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым КМ и ОМ на плоскости КМО⇒ВМ перпендикулярна плоскости КМО, и длина отрезка ВМ — расстояние от т. В до плоскости ОКМ. ВМ = КМ•tg30° = √3•(1 / √3) = 1 В ∆ АВС АС = ВС = 10 см. Угол А при основании равнобедренного ∆ АСВ равен углу В = 30°. ⇒угол С = 180> — 2•30° = 120° а) Расстояние от D до прямой АС — длина перпендикуляра DН, проведенного из D к прямой АС. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Угол ВСН = 180° — угол ВСА = 180° — 120° = 60°(смежный углу С) ВН = ВС•sin60° = 10•√3 / 2 = 5√3 BD перпендикулярна плоскости АВС, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в той же плоскости. DH = (√BD * + BH * ) = √(25 + 75) = 10 см. Плоскости DBH и DHC перпендикулярны. (Если одна из двух плоскостей проходит через прямую (BD), перпендикулярную другой плоскости (ABH), то такие плоскости перпендикулярны. ) Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости. Искомое расстояние — расстояние от вершины прямого угла В до гипотенузы ∆ ВDH, т. Е. равно высоте, проведенной к гипотенузе.
Видео:№528. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковСкачать  В треугольнике ABC AC = BC = 10см, угол B = 30 градусов?В треугольнике ABC AC = BC = 10см, угол B = 30 градусов. Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника ABC, BD = 5 см. Найдите расстояние от т. D до прямой AC и расстояние от т. BD до плоскости ADC.
Видео:Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80Скачать  Отрезок MD перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCDНайдите расстояние от точки М до прямой ВС?Отрезок MD перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD Найдите расстояние от точки М до прямой ВС.
Видео:№43. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Известно, что углы BAC и ADC прямыеСкачать  Плоскости а и b пересекаются по прямой а?Плоскости а и b пересекаются по прямой а. В плоскости а выбрали точку а такую, что расстояние от нее до плоскости b равна 4 см, а до прямой а — 8см. Найдите угол между плоскостями!
Видео:Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOCСкачать  В треугольнике АВС, ВС = 6см, угол АСВ = 120 градусов, прямая ВМ перпендикулярна плоскость(АВС)?В треугольнике АВС, ВС = 6см, угол АСВ = 120 градусов, прямая ВМ перпендикулярна плоскость(АВС). Найдите расстояние от точки М до прямой АС, если ВМ = 3см.
Видео:№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметрСкачать  Abcd квадрат в плоскости альфа его диагонали пересекаются в точке о?Abcd квадрат в плоскости альфа его диагонали пересекаются в точке о. Прямая а проходит через точку О и перпендикулярна к плоскости а. Точка Е лежит на прямой а. Длина диагонали квадрата равна 6см, а ОЕ 4см. Найдите расстояние от точки Е до вершины квадрата.
Видео:ОГЭ без рекламы математика 11 и 12 вариант задача 25Скачать  Помогите пожалуйста с геометрией за 10 класс?Помогите пожалуйста с геометрией за 10 класс. 1 — пожалуйста обязательно, 2, 3 — одно за выбором. 1. Из точки А к плоскости α проведены две равные наклонные по 4 см каждая. Угол между наклонными равен 60 (градусов), а угол между их проекциями — прямой. Найдите расстояние от точки А до плоскости α. 2. катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. С вершины прямого угла опущен перпендикуляр на плоскость β проходящей через гипотенузу и образует угол 30 (градусов) с плоскостью треугольника. Найдите длину перпендикуляра. 3. Квадрат ABCD и равносторонний треугольник ABE не лежащих в одной плоскости. Точка пересечения диагоналей является ортогональной проекцией точки ее на плоскость квадрата, найдите угол между плоскостями квадрата и треугольника.
Видео:7.41.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать  Через точку А, удаленную от плоскости альфа на расстояние корень из 3 см, проведена прямая, пересекающая плоскость альфа в точке В?Через точку А, удаленную от плоскости альфа на расстояние корень из 3 см, проведена прямая, пересекающая плоскость альфа в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью альфа, если АВ = 2см.
Видео:Геометрия Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис.) пересекаются в точке O, угол ABD = 64. НайдитеСкачать  1) Из точки, не принадлежащей плоскости опущен на нее перпендикуляр и проведена наклонная?1) Из точки, не принадлежащей плоскости опущен на нее перпендикуляр и проведена наклонная. Найдите проекцию наклонной, если перпендикуляр равен 12 см, а наклонная 15 см. 2) Найдите геометрическое место прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через данную на ней точку : а)Прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку б)Плоскость, перпендикулярная данной прямой в)Плоскость, параллельная данной прямой г)Плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку 3) Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек : а)Перпендикуляр, проведенный к середине отрезка, соединяющего данные точки б)Прямая, параллельная прямой, проходящей через данные точки в)Плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через данные точки г)Плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему данные точки и проходящая через его середину.
Видео:№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать  Через вершину прямого угла В прямоугольного треугольника АВС к его плоскости проведён перпендикуляр ВК длиной 7см?Через вершину прямого угла В прямоугольного треугольника АВС к его плоскости проведён перпендикуляр ВК длиной 7см. Найти расстояние от точки К к прямой АС, если АС = 8 корень из 2 см, угол ВАС = 45 градусов.
Видео:Найдите длину диагонали четырехугольникаСкачать  Через сторону ас равностороннего треугольника abc проведена плоскость a?Через сторону ас равностороннего треугольника abc проведена плоскость a. BO перпендикуляр к плоскости a а) обоснуйте угол между прямой bo и плоскостью abc б) найдите площадь треугольника abc, если прямая bo образует с плоскостью abc угол 30 градусов, а точка О удалено от плоскости АВС на 3 см. Если вам необходимо получить ответ на вопрос 1) Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекаются в точке O?, относящийся к уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы. 💥 Видео№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать  3.25.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать  Геометрия Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис.) пересекаются в точке O, угол ADB = 30, BD = 10 смСкачать  ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать  2 24 задание ОГЭ по математикеСкачать  ОГЭ Задание 26 Площади фигурСкачать  КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать  егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать  |
(так как треугольники ABO и CBO подобны по условию задания). Так как 
, то 
и 
. Так как треугольники BCOи COD подобны, то 
. Так как треугольники OCDи OADподобны, то 
. Треугольники ABC и ADC – равнобедренные со сторонами AB = BC и AD = DC. Следовательно,
. Следовательно, CO – высота. Пусть BO = y, тогда OD=13-yи
. Получаем периметр и площадь четырехугольника ABCD:
