Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Признаки параллелограмма
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

2. Рассмотрим Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАВС и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАDС: АС — общая, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм1 =Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм3 (т.к. по условию АDДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВС, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм1 и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАВС =Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАВ = DC и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм2 = Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм4. Но Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм2 и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАВДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм.

3. Итак, АDДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВС и АВДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммчетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

2. Рассмотрим Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАВС и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАВС =Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм1 = Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм2, при этом Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм1 и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВС, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

1. Рассмотрим Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАОD и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАОD и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВОС (как вертикальные углы), Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАОD =Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммАD = ВC и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм1 = Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм2.

2. Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм1 и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм1 = Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм2, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДиагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммВС, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

Теорема (1-й признак параллелограмма).

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограммДано : ABCD — четырехугольник,

AC и BD — диагонали,

Доказать : ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники AOD и COB.

1) AO=OC (по условию);

2) BO=OD (по условию);

Следовательно, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠ADO=∠CBO.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD, то AD∥BC (по признаку параллельных прямых).

3. Аналогично, ∆ AOB=∆ COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD.

4. Доказали, что AD∥BC и AB∥CD.

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению).

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм: свойства и признаки

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

О чем эта статья:

Видео:№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

🎦 Видео

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=ODСкачать

Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=OD

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать

Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромб

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Геометрия Четырехугольник ABCD и AMKD – параллелограммы (см. рис.). Докажите, что четырехугольникСкачать

Геометрия Четырехугольник ABCD и AMKD – параллелограммы (см. рис.). Докажите, что четырехугольник

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, AB = 7. Найдите DO.Скачать

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, AB = 7. Найдите DO.

Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). ЗадачаСкачать

Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Задача

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

№529. Диагонали четырехугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадьСкачать

№529. Диагонали четырехугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1Скачать

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1

ОГЭ без рекламы математика 11 и 12 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 11 и 12 вариант задача 25

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)
Поделиться или сохранить к себе: