Диагонали ас и вд четырехугольника авсд пересекаются в точке о периметр авс равен периметру авд
Обновлено
Поделиться
Диагонали ас и вд четырехугольника авсд пересекаются в точке о периметр авс равен периметру авд
Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол DAC равен 90°, а в 2 раза больше угла ADB. Сумма угла DBС и удвоенного угла ADС равна 180°.
а) Докажите, что ВР = 2AP.
б) Найдите площадь четырёхугольника AВCD, если BD = 8 и точка Р является серединой диагонали BD.
а) Пусть биссектриса угла РСВ пересекает отрезок РВ в точке М. Обозначим буквой β угол ADB. Получаем, что
Так как по свойству вертикальных углов, треугольники APD и МРС подобны, поэтому ∠PMC = 90°. Таким образом, в треугольнике ВСР биссектриса СМ является высотой, а значит, треугольник ВСР равнобедренный и PM = MB, CP = CB.
В треугольнике DBC:
Из этого равенства и из того, что следует, что ∠PCD = ∠PDC. Поэтому треугольник PCD равнобедренный и PD = PC. Значит, треугольники APD и МРС равны, поэтому откуда следует, что BP = 2AP.
б) Точка Р является серединой отрезка BD, поэтому Отсюда следует, что треугольник ВСР равносторонний, поэтому ∠BPC = 60°. Из равенства получаем, что AP = 2 и Теперь найдём площадь четырёхугольника AВCD:
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Видео:№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметрСкачать
Контрольные работы по геометрии (8 класс)
Видео:егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Контрольная работа №1 Четырёхугольники
Контрольная работа №1 Четырёхугольники
1. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если угол АВО = 30º.
2. В параллелограмме КМNР проведена биссектриса угла МКР, которая пересекает сторону МN в точке Е.
а) Докажите, что треугольник КМЕ равнобедренный.
б) Найдите сторону КР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.
1. Диагонали ромба КМNР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если угол МNР= 80º
2. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что АВ = ВМ.
а) Докажите, что АМ – биссектриса угла ВАД.
б) Найдите периметр параллелограмма, если СД = 8 см, СМ = 4 см.
Контрольная работа №2 Площадь
Контрольная работа №2 Площадь
1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150º. Найдите площадь параллелограмма.
2. Площадь прямоугольной трапеции равна120 см², а её высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.
3. На стороне АС данного треугольника АВС постройте точку Д так, чтобы площадь треугольника АВД составила одну треть площади треугольника АВС.
1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны параллелограмма, если его площадь равна 108 см².
2. Найдите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АВ = 12 см, Вс = 14 см, АД = 30 см, угол В равен 150º.
3. На продолжении стороны КN данного треугольника КМN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NМР была в 2 раза меньше площади треугольника КМN.
Контрольная работа №3 Подобие треугольников
Контрольная работа №3 Подобие треугольников
1. На рисунке АВ ║СД.
а) Докажите, что АО : ОС = ВО : ОД.
б) Найдите АВ, если ОД = 15 см, ОВ = 9 см, СД = 25 см.
2) Найдите отношение площадей треугольников АВС и КМN, если АВ =8 см, ВС=12 см, АС= 16 см, МN=15 см, NК=20 см.
1.На рисунке МN ║АС.
а) Докажите, что АВ ∙ ВN = СВ ∙ ВМ. б) Найдите МN, если АМ=6 см, ВМ=8 см, АС=21 см
2) Даны стороны треугольника РQR и АВС: РQ=16 см, QR=20 см, РR=28 см и АВ=12 см, ВС=15 см, АС=21см. Найдите отношение площадей. этих треугольников
Контрольная работа №4 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Контрольная работа №4 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
1. В прямоугольном треугольнике АВС угол А= 90º, АВ=20 см, высота АД равна 12 см. Найдите АC и cos C.
2. Диагональ ВД параллелограмма АВСД перпендикулярна к стороне АД. Найдите площадь параллелограмма АВСД, если АВ=12 см, угол А=41º.
1) Высота ВД прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок ДС, равный 18 см. Найдите АВ и cosA.
2) Диагональ АС прямоугольника АВСД равна 3 см и составляет со стороной АД угол в 37º. Найдите площадь прямоугольника АВСД.
Контрольная работа №5 Окружность
Контрольная работа №5 Окружность
1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АД, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырёхугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, ВС, СД, АД.
2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
. 1. Отрезок ВД – диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырёхугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, ВС, СД, АД.
2. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей
Итоговая контрольная работа
Итоговая контрольная работа
1. В трапеции АВС D точка М – середина большего основания А D , М D = ВС, Найдите углы АМС и ВСМ.
2. На стороне А D параллелограмма АВС D отмечена точка К так, что АК = 4 см, К D = 5 см, ВК = 12 см. Диагональ В D равна 13 см.
а) Докажите, что треугольник ВК D прямоугольный.
б) Найдите площади треугольника АВК и параллелограмма АВС D .
3. Отрезки АС и В D пересекаются в точке О, причем АО = 15 см, ВО = 6 см, СО = 5 см, DO = 18 см.
а) Докажите, что четырехугольник АВС D – трапеция.
б) Найдите отношение площадей треугольников АО D и ВОС.
4. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. Расстояние от точки О до прямой АВ равно 6 см, Найдите: а) угол АВО; б) радиус окружности.
1. В трапеции АВС D на большем основании А D отмечена точка М так, что АМ = 3 см, СМ =- 2 см, , Найдите длины сторон АВ и ВС.
2. В трапеции АВС D FD = 8 см, DC = 4 см, CD = 10 см. Найдите:
а) найдите площадь треугольника АС D ;
б) площадь трапеции АВС D .
3. Через точку М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная высоте В D треугольника и пересекающая сторону ВС в точке К. Известно, что ВМ = 7 см, ВК = 9 см, ВС = 27 см. Найдите:
а) длину стороны АВ;
б) отношение площадей треугольников АВС и МВК.
4. В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон АВ, В C и СА в точках D , Е и F соответственно. Известно, что . Найдите: а) радиус окружности; б) углы ЕО F и Е DF .
Видео:Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80Скачать
Диагонали ас и вд четырехугольника авсд пересекаются в точке о периметр авс равен периметру авд
Задание 16. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где О — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2.
а) Так как стороны BC=CD, то и дуга BC равна дуге CD. На эти дуги опираются равные углы: BAC, CAD, CBD, CDB. Получаем подобные треугольники BPC и APD (по двум углам), следовательно, и
или (1)
Далее, треугольники BPC и ABC также подобны по двум углам, поэтому
или (2)
В результате из (1) и (2), имеем:
б) Так как BD – диаметр окружности, то треугольники BCD и ABD – прямоугольные с прямыми углами C и A соответственно. Также по условию задания BC=CD=5√2, получаем
Рассмотрим прямоугольный треугольник BAD, в котором AB=5, BD=10, следовательно, угол BDA=30°, а угол ODO1 = 15° (так как O – центр вписанной окружности, поэтому DO – биссектриса).
Далее, из равнобедренного треугольника BCD с основание BD получаем, что угол CDB=45°, следовательно, угол ODC=45+15=60°. Из прямоугольного треугольника ABD
и полупериметр треугольника ABD, равен:
Найдем отрезок DE=p-AB (как отрезок части касательной), имеем:
и радиус вписанной окружности:
Рассмотрим прямоугольный треугольник OED, из которого
Рассмотрим треугольник OCD, в котором , следовательно, треугольник ODC – равносторонний. Площадь этого треугольника, равна:
по свойству вертикальных углов, треугольники APD и МРС подобны, поэтому ∠PMC = 90°. Таким образом, в треугольнике ВСР биссектриса СМ является высотой, а значит, треугольник ВСР равнобедренный и PM = MB, CP = CB.
следует, что ∠PCD = ∠PDC. Поэтому треугольник PCD равнобедренный и PD = PC. Значит, треугольники APD и МРС равны, поэтому 
откуда следует, что BP = 2AP.
Отсюда следует, что треугольник ВСР равносторонний, поэтому ∠BPC = 60°. Из равенства 
получаем, что AP = 2 и 
Теперь найдём площадь четырёхугольника AВCD:
а) Докажите, что АО : ОС = ВО : ОД.
а) Докажите, что АВ ∙ ВN = СВ ∙ ВМ. б) Найдите МN, если АМ=6 см, ВМ=8 см, АС=21 см
Найдите углы АМС и ВСМ.
Найдите: а) угол АВО; б) радиус окружности.
Найдите длины сторон АВ и ВС.
FD = 8 см, DC = 4 см, CD = 10 см. Найдите:
. Найдите: а) радиус окружности; б) углы ЕО F и Е DF .
и
или 
(1)
или 
(2)
, следовательно, треугольник ODC – равносторонний. Площадь этого треугольника, равна:
