Действия с коллинеарными векторами

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Видео:ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ \\ 9 класс \\ геометрияСкачать

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
   
2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Векторы: третий уровень сложности

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Видео:§15 Коллинеарность векторовСкачать

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Видео:Вектор. Действия над векторами. Коллинеарные и неколлинеарные векторыСкачать

Что из этого нужно запомнить

• С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
• Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
• Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
• Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные векторы.Скачать

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Видео:Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Видео:10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

🔥 Видео

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать