Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медианСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медианФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медианВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан
Равнобедренный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан
Равносторонний треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан
Прямоугольный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Произвольный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан
Равнобедренный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан
Равносторонний треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан
Прямоугольный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан
Произвольный треугольник
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан.

Равнобедренный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Равносторонний треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан– полупериметр (рис. 6).

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

с помощью формулы Герона получаем:

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Какие из следующих утверждений верны?

1) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения медиан.

2) Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, находится вне этого треугольника.

3) Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, находится внутри этого треугольника.

4) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на стороне этого треугольника.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Планиметрия. Страница 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

1.Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.

Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1)

ОА — радиус
ВС — диаметр
DE — хорда

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

2.Окружность, описанная около треугольника

Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.2) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно, треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС — равнобедренные. А следовательно, и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD, являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.

Видео:Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

3.Окружность, вписанная в треугольник

Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной окружности. (Рис. 3)

Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ,
Δ СОЕ = Δ СОК,
Δ ВОК = Δ ВОТ.
Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы.
Следовательно:
∠ ЕАО = ∠ ТАО,
∠ ЕСО = ∠ КСО,
∠ КВО = ∠ ТВО.

Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

Видео:#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5

4.Геометрическое место точек

Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).

Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Пример 1

Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5)

По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.

Пример 2

Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.6 Задача. Касательная к окружности.

Пример 3

Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)

Доказательство:

Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.

Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.

Пример 4

Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 (Рис.8)

Доказательство:

Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О1А = О1В, как радиусы окружности с центром в точке О1.

Таким образом, треугольники ОАО1 и ОВО1 равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО1 является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО1 равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО1 и ВСО1 по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО1 = ∠ВСО1 = 90°.

Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О1.

Пример 5

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)

Доказательство:

По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).

Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.

Центр окружности вписанной в треугольник точка пересечения его медиан

Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а .

📽️ Видео

Вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

Центр вписанной окружности #Shorts

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: