Дельтоид четырехугольник в котором (7 видео)

Дельтоид четырехугольник в котором

Содержание

Дельтоид
Дельтоид.
Свойства дельтоида.
Площадь дельтоида.
Частные случаи.
Исследовательская работа по математике «Дельтоид»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Оставьте свой комментарий
Подарочные сертификаты
📸 Видео

Видео:Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Дельтоид

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

На уроках геометрии в первой четверти 8 класса мы изучали различные четырехугольники, такие как параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб и трапеция. Мы доказывали их свойства и признаки, с помощью которых потом решали различные задачи. Возник вопрос: все ли виды четырехугольников мы изучили? Пытаясь ответить на этот вопрос, в сети Интернет я наткнулась на еще один четырехугольник – дельтоид. Проведя анализ привычных школьных справочников, а также заглянув в знаменитый справочник Бронштейна, я не нашла никаких сведений о дельтоиде. Между тем эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире, например, крона дерева туя (рис.1), тело рыбы (рис.2), человеческий мозжечок (рис.3), соединенные человеческие руки (рис.4), воздушный змей (рис.5), лист дерева (ри.6), а также форма носа и глаза.

рис.1 рис.2 рис.3 рис. 4

Меня очень заинтересовал данный четырехугольник, и я решила глубже узнать, что это за дельтоид, сформулировать и доказать его свойства и признаки, решить различные задачи с ним, а потом представить свои разработки в виде сайта для своих одноклассников и всех тех, кто интересуется геометрией.

Цель: изучение четырехугольника дельтоид и создание сайта «Все о дельтоиде».

— познакомиться с литературой по данной теме;

— сформулировать различные определения дельтоида;

— сформулировать свойства и признаки дельтоида;

— составить и решить задачи с дельтоидом;

— составить тесты для проверки знаний о дельтоиде;

— создать электронный образовательный ресурс — сайт «Все о дельтоиде», содержащий теоретический и практический материал по данной теме.

Объект исследования: четырехугольник дельтоид.

Предмет исследования: определение, свойства и признаки дельтоида.

Методы исследования: работа с научной литературой, анализ и систематизация теоретического материала, решение задач.

Глава 1. Дельтоид – один из видов четырехугольников

1.1 Определение дельтоида

Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта ).

Изучив различную литературу по данной теме, я выделила два определения дельтоида (рис.7):

— Дельтоид — четырёхугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон.

— Дельтоид – это четырехугольник, симметричный относительно одной из своих диагоналей. [4,5,6,8]

Из определения дельтоида следует, что ромб и квадрат также являются дельтоидами.

Главная диагональ дельтоида — это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида. Неглавной диагональю дельтоида называют вторую диагональ дельтоида.

Средняя линия дельтоида это – отрезок, соединяющий середины соседних сторон дельтоида.

Есть два вида дельтоидов: выпуклый (рис.7) и невыпуклый (рис.8).

Все углы выпуклого дельтоида меньше развёрнутого угла, а один из углов невыпуклого дельтоида больше развёрнутого угла.

1.2 Свойства дельтоида

Изучив литературу, по данной теме, мною были выделены следующие свойства дельтоида (табл.1).

Табл.1 Свойства дельтоида

1) Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину

2) Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу, одна из них делит другую на две равные части

3) Во всякий выпуклый дельтоид можно вписать окружность, и только одну

4) Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника

5) Главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов

6) Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника

7) Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида

8) Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей

9) Площадь дельтоида равна произведению двух его неравных сторон на синус угла между ними

Проведя сравнительный анализ со свойствами изученных четырехугольников, я выделила общие свойства дельтоида, ромба и квадрата:

— диагонали взаимно перпендикулярны;

— площадь равна половине произведения диагоналей;

— средние линии образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.

Также в любой выпуклый дельтоид, как и в квадрат, можно вписать окружность, и только одну.

Мною были определены и различия в свойствах дельтоида и других изученных четырехугольников. У дельтоида:

— только одна пара равных противолежащих углов (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – две);

— только одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);

— только главная диагональ делит на два равных треугольника (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);

— только главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов (у ромба – обе диагонали);

— только неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника (у квадрата и ромба – обе диагонали).

1.3 Признаки дельтоида

Можно выделить четыре признака дельтоида (табл.2).

Табл.2 Признаки дельтоида

1)Если у четырёхугольника только одна ось симметрии, проходящая через диагональ, то это дельтоид

2) Если четырёхугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид

3) Если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны и только одна из них делит другую пополам, то это дельтоид

4) Если в четырёхугольнике только одна диагональ является биссектрисой противоположных углов, то это дельтоид

1.4 Задачи с дельтоидом

Изучив некоторые российские учебные пособия по математике [1], я не встретила системы задач про дельтоид. Однако мы встречались с этой геометрической фигурой на уроках геометрии еще в 7 классе (УМК по ред. А.Г.Мерзляка [2,3]), когда решали задачи на применение признаков равенства треугольников (№161 (рис.9), №176 (рис.10)) и задачи по теме «Касательная к окружности» (№523 (рис.11)).

рис.9 рис.10 рис.11

Изучив признаки и свойства дельтоида, я попыталась составить достаточное количество разнообразных и интересных задач с дельтоидом вычислительного характера. Примеры таких задач приведены ниже, для некоторых из них рассмотрено решение. [7]

Одна из диагоналей дельтоида равна 16 см, а его площадь – 120 см 2 . Чему равна длина второй диагонали дельтоида?

120 = ·16· d ₂; 120 = 8· d ₂; d ₂ = 120 : 8; d ₂ = 15 см

Найти стороны дельтоида, если его периметр

равен 116 см, а разность боковых сторон равна

Ответ: АВ=30,5 см; ВС=30,5 см; CD =27,5 см; AD =27,5 см

На сторонах АВ и ВС прямоугольника АВС D взяты точки К и О соответственно так, что КВ = ВО, а на стороне А D взята точка Е так, что КЕ = ОЕ. Найти АВЕ.

1)В = 90°, так как АВС D — прямоугольник.

2)Рассмотрим четырёхугольник КВОЕ.

КВ=ОВ (по условию); КЕ=ОЕ (по условию).

Значит, КВОЕ – дельтоид по определению.

3)ВЕ – главная диагональ дельтоида, следовательно, она является биссектрисой противолежащих углов дельтоида, т.е. АВЕ= В. Значит, АВЕ= · 90° = 45°.

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки F , D и E такие, что ЕС : АЕ = 2 : 1, F Е = D Е, А F = 2 см, D С = 5 см, F В = В D . Найдите F В.

1) Так как FE = DE , FB = BD по условию, то BDEF – дельтоид по определению.

2) BE – главная диагональ дельтоида, а, значит, и биссектриса B (по свойству дельтоида).

По свойству биссектрисы или .

Пусть FB = BD =х, тогда

Равные стороны АВ и ВС дельтоида АВС D перпендикулярны и равны

2 см, К – точка пересечения диагоналей АС и В D , АК = КС. Из точки К проведен перпендикуляр КЕ к стороне С D , СЕ = 1 см. Найдите Е D .

∆ ABC – равнобедренный прямоугольный

треугольник, т.к. AB = BC и АВ ВС. По теореме Пифагора + = ,

2) Т.К. АК = КС по условию, то АК = КС = 2 см. рис.15

3) AC BD по свойству дельтоида, значит, ∆ KCD – прямоугольный.

КС² = CE ∙ CD (по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике)

1.5 Тесты по теме «Дельтоид»

Рассмотрев свойства и признаки дельтоида, изучив возможность их применения для решения задач, я составила тесты для проверки знаний по теме «Дельтоид».

Обобщающий тест «Всё о дельтоиде»

Форму какого из четырехугольников имеет мозжечок человека:

Выберите верное утверждение:

Дельтоид – это четырехугольник, у которого стороны попарно равны

Дельтоид – это четырехугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон

Дельтоид – это четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны

Дельтоид – это четырехугольник, у которого две стороны равны

Выберите неверное утверждение:

Главная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида

Дельтоид – это четырехугольник, в котором две пары соседних сторон равны

Неглавная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины равных углов дельтоида

Средняя линия дельтоида – это отрезок, соединяющий стороны дельтоида

Какой четырехугольник может быть невыпуклым:

Выберите верное утверждение:

Если в четырехугольнике две стороны равны, то это дельтоид

Если четырехугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид

Если в четырехугольнике диагонали является биссектрисами противолежащих углов, то это дельтоид

Если в четырехугольнике есть пара равных соседних сторон, то это дельтоид

Выберите неверное утверждение:

Все углы дельтоида равны

Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину

Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника

Выберите верное утверждение:

Около всякого выпуклого дельтоида можно описать окружность

Все стороны дельтоида равны

Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника

В выпуклом дельтоиде один из углов больше развёрнутого

У какого четырехугольника только одна диагональ является биссектрисой противолежащих углов:

В дельтоиде смежные стороны относятся как 3 : 5. Найдите большую сторону дельтоида, если его периметр равен 48 см.

Одна из диагоналей дельтоида равна 18 см, а его площадь – 234 см 2 . Чему равна длина второй диагонали дельтоида?

Какого из перечисленных элементов нет у дельтоида?

Радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности

АВС D – дельтоид. Треугольник АВС равносторонний, и его периметр равен 30 см. Треугольник АС D – равнобедренный, и его периметр равен 46 см. Найдите периметр дельтоида АВС D .

1.6 Создание электронного образовательного ресурса – сайт «Все о дельтоиде»

Проделав работу по формулированию и доказательству свойств и признаков дельтоида, составлению и решению задач на вычисление различных величин в дельтоиде, созданию тестов по теме «Дельтоид», весь разработанный материал я оформила в виде сайта «Все о дельтоиде», размещенного по адресу https://sites.google.com/view/deltoid-na5 .

Данный сайт можно использовать для объяснения материала о дельтоиде на уроках геометрии и во внеурочной деятельности, для самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе решения интерактивных тестов.

Данный сайт состоит из шести разделов:

1 раздел — Главная страница (рис. 16) — содержит общую информацию о создателе сайта, а также рассмотрены примеры дельтоидов из окружающей обстановки.

2 раздел — «Что такое дельтоид» (рис.17), в котором приведены различные определения дельтоида, рассмотрены его элементы.

3 и 4 разделы — «Свойства дельтоида» и «Признаки дельтоида» (рис.18. рис.19). В этих разделах сформулированы характерные для дельтоида свойства и признаки.

5 раздел – «Задачи и дельтоидом» (рис.20). На этой странице приведены решения некоторых задач на вычисление различных элементов дельтоида, а также предложены задачи для самостоятельного решения.

6 раздел – «Тесты по теме «Дельтоид» (рис.21, рис.22). В этом разделе можно проверить свои знания по данной теме с помощью предложенных интерактивных тестов.

На одном из уроков геометрии я предложила своим одноклассникам познакомиться с дельтоидом, изучив материал на сайте «Все о дельтоиде» (рис.23, рис.24, рис. 25).

рис.23 рис.24 рис.25

Мне было очень интересно узнать мнение ребят о моем электронном образовательном ресурсе – сайте «Все о дельтоиде». Вот некоторые из высказываний.

Таня Т.: «Очень интересно было узнать об еще одном четырехугольнике – дельтоиде».

Оля П.: «Информация изложена доступно и понятно. Понравилось самостоятельно решать задачи с дельтоидом».

Антон Р.: «Оказывается, что дельтоид окружает нас повсюду».

Настя К.: «Изучив определение, свойства и признаки дельтоида и решив задачи для самостоятельной работы, я практически без ошибок прошла интерактивное тестирование».

В данной работе изучена неизвестная в школьном курсе математики геометрическая фигура – дельтоид, которая, однако, встречается очень часто в нашей жизни. Была проделана работа по формулированию свойств и признаков этого четырехугольника, составлено достаточное количество разнообразных задач на вычисление различных элементов дельтоида, также были разработаны тесты для оценки знаний по данной теме. Весь накопленный материал я оформила в виде электронного образовательного ресурса – сайта «Все о дельтоиде», который был предложен моим одноклассникам на одном из уроков геометрии и получил положительные отзывы.

Таким образом, цели, стоящей перед нами, мы достигли – изучен четырехугольник дельтоид. Я бы порекомендовала использовать созданный электронный продукт на урочной и внеурочной деятельности для объяснения материала по данной теме, самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе выполнения интерактивных тестов.

Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2013.-328с.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2017

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2018

Перельман Я.И. Занимательная алгебра, геометрия. М.: Книга, 2005

Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо, 2008.-304с.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-400с.

Шноль Д, Сгибнев А, Нетрусова Н. Система открытых задач по геометрии: 8 класс – М.: Чистые пруды, 2009. – 32 с.: ил. – (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 29).

Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. -М.:Педагогика,1989.-352с.

http :// math 4 school . ru / chetyrehugolniki . html

Видео:Четырехугольник, которому не повезло | дельтоид (недоромб)Скачать

Дельтоид.

Дельтоид — четырехугольник, который содержит 2 пары смежных сторон, имеющих одинаковую длину.

Дельтоид бывает выпуклым или невыпуклым:

На рисунке слева изображен выпуклый дельтоид, справа — невыпуклый.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Свойства дельтоида.

1. Углы меж сторонами разной длины имеют равную величину.

2. Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу.

3. Во всякий выпуклый дельтоид вписывается окружность, а также, если дельтоид имеет вид ромба, то есть еще одна окружность, которая касаюется продолжений всех 4-х сторон. Для невыпуклого дельтоида может быть построена окружность, которая касается 2-х бОльших сторон и продолжений 2-х меньших сторон и окружность, которая касается 2-х меньших сторон и продолжений 2-х бОльших сторон.

4. Одна диагональ точкой пересечения делится на две равные части.

5. Одна диагональ оказывается биссектрисой углов.

6. Одна диагональ разделяет дельтоид на 2 равнобедренных треугольника.

7. Одна диагональ разделяет дельтоид на 2 равных треугольника.

8. Прямые, которые содержат диагонали всех дельтоидов, пересекаются под углом, равным 90 градусам.

Во всякий выпуклый дельтоид вписывается окружность.

Если выпуклый дельтоид не оказывается ромбом, значит, есть окружность, которая касается продолжений каждой их 4-х сторон нашего дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида строится окружность, которая касается 2-х сторон большей длины и продолжений 2-х меньших сторон, а также окружность, которая касается 2-х меньших сторон и продолжений 2-х сторон большей длины.

Около дельтоида описывается окружность только в том случае, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90 градусов.

Радиус окружности, которая описана вокруг дельтоида можно вычислить через 2 его разные стороны:

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Площадь дельтоида.

Площадь всякого дельтоида определяют:

через диагонали дельтоида:

через 2 соседние разные стороны и угол между ними:

где a и b длины разных сторон, а α угол между ними.

Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Частные случаи.

1. Когда угол меж разных сторон дельтоида равен 90 градусам, значит, около него можно описать окружность (вписанный дельтоид).

2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.

3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является квадратом. Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Видео:Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Исследовательская работа по математике «Дельтоид»

Видео:Площадь четырехугольника за 1 СЕКУНДУСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Глава I . Дельтоид — один из видов четырехугольников………………………………..4

Формулы для нахождения площади дельтоида………………………………. 6

Глава II . Задачи по теме «Дельтоид»………………………………………………….…8

В прошлом учебном году на уроках геометрии нами изучалась тема «Четырехугольники». Мы узнали свойства прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, квадрата. Возник вопрос: все ли виды четырехугольников нам теперь известны. Работая с дополнительной литературой, мы узнали о дельтоиде и решили подробнее рассмотреть эту геометрическую фигуру.

Цель: изучить геометрическую фигуру дельтоид.

— познакомиться с литературой по данной теме;

— сформулировать определения дельтоида, сравнить их;

— найти и доказать свойства и признаки дельтоида;

— рассмотреть формулы для нахождения площади дельтоида;

— рассмотреть задачи, в которых используется фигура дельтоид.

Объект исследования: фигура дельтоид.

Предмет исследования: определение, свойства и признаки дельтоида, способы вычисления площади дельтоида.

Методы исследования: работа с научной литературой, анализ и систематизация теоретического материала, доказательство теорем, решение задач.

Глава I . Дельтоид – один из видов четырёхугольников.

Анализируя учебники геометрии и справочники по математике для школьников, мы не нашли определений дельтоида. Но изучив дополнительные источники и пособия, выделили четыре определения.

Дан четырёхугольник ABCD , в котором AB = BC и AD = DC . Такой четырёхугольник называется дельтоидом [6, 4].

Дельтоидом называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон [8].

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания [9].

Четырёхугольник, симметричный относительно одной из своих диагоналей, называется дельтоидом [2].

Учитывая, что дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым, утверждение 3 нельзя считать определением дельтоида. Оно является определением выпуклого дельтоида.

Дельтоид имеет две диагонали – главную и неглавную.

Главная диагональ дельтоида – отрезок, который соединяет вершины двух неравных углов дельтоида.

Неглавная диагональ дельтоида – отрезок, который соединяет вершины двух равных углов дельтоида.

Средняя линия дельтоида — отрезок, соединяющий середы смежных сторон.

Первый признак дельтоида: если в четырёхугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то такой четырёхугольник — дельтоид.

( ∠ BAC = ∠ DAC , ∠ BCA = ∠ DCA ),

Точка O – точка пересечения диагоналей АС и В D , A С _┴ BD .

Рассмотрим ∆ АО B и ∆ АО D : ∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, ∠ OAB = ∠ OAD по условию, тогда ∆ АО D = ∆ АОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит А B = А D .

2. Точка O – точка пересечения диагоналей, CO _┴ BD .

Рассмотрим ∆ СО B и ∆ СО D : ∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, ОС — общая сторона, ∠ BCA = ∠ DCA по условию, тогда ∆ СО D = ∆ СОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит B С= D С.

3. Так как AB = AD , BC = DC , то ABCD – дельтоид по определению.

Второй признак дельтоида: если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.

Четырехугольник ABCD , AC _┴ BD ,

Точка O – точка пересечения диагоналей,

Рассмотрим ∆ АО B и ∆ АОD:∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ АО D = ∆ АОВ по двум катетам, значит А B = А D .

Рассмотрим ∆ COB и ∆ COD :∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, ОС – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ СО B = ∆ СО D по двум катетам, значит B С = DC .

Так как AB = AD , BC = DC , то ABCD – дельтоид по определению.

Свойства дельтоида (см. Приложение 1).

Углы между сторонами разной длины равны.

Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника.

Главная диагональ является биссектрисой углов.

Точка пересечения диагоналей делит неглавную диагональ на две равные части.

Диагонали дельтоида (или их продолжения) взаимно перпендикулярны.

В дельтоид всегда можно вписать окружность.

Главная диагональ — ось симметрии.

Для дельтоида параллелограммом Вариньона является прямоугольник. (Параллелограмм Вариньона – четырехугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника).

Формулы для нахождения площади дельтоида.

Площадь дельтоида можно вычислить по четырём формулам:

S = , где — диагонали дельтоида

Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = ah , где a – основание, h – высота

делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида). Площади этих треугольников равны: . Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле:

S = ab sin α , где a и b – неравные стороны, α – угол между ними

Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = ab sin α, где a и b – неравные стороны, α – угол между ними. делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида). Площади этих треугольников равны:

ab sin α . Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: S = ab sin α + ab sin α = ab sin α

S = sin + sin , где a и b – неравные стороны, — угол между сторонами равными a , — угол между сторонами равными b

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

S = ab sin α, где a и b – неравные стороны, α – угол между ними.

Неглавная диагональ делит дельтоид на два треугольника. Площадь верхнего треугольника можно найти по формуле: S = sin , а нижнего: sin . Из этого следует, что площадь дельтоида равна: S = sin + sin

S = ( a + b ) r , где a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности

Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Тогда диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

= + + + = ar + ar + br + br = (a+b) r

Глава II . Задачи по теме «Дельтоид».

Изучив некоторые российские учебные пособия по математике, мы не встретили системы задач про дельтоид. Есть задачи про равнобедренные треугольники с общим основанием, про биссектрису угла, т.е. при решении образуется дельтоид, например №123, №142, №172, №175, №247, учебника по геометрии 7-9 Л.С. Атанасяна. Тем не менее, мы обнаружили информацию и задачи в иностранной учебной литературе (см. Приложение 2). Примеры некоторых переведенных нами задач приведены ниже:

ABCD – дельтоид, AC ∩ BD = E , EF ┴ DC ,

AB = AD, FC = 8 см , FD = 2 см , AE = см

ABCD – дельтоид по условию. Так как AC ┴ BD по свойству дельтоида, то ∆ DEC – прямоугольный треугольник, = CF ∙ CD по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, = 8 ∙ (8 + 2) = 80, EC = 4 см.

= FD ∙ DC по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

= 2 ∙ (2 + 8) = 20, ED = 2 см , = , = = 50

∆ ABC, EC = 2AE, FE = DE,

AF = 2 см , DC = 5 см , FB = BD

Так как FE = DE , FB = BD по условию, то BDEF – дельтоид по определению дельтоида

BE – биссектриса BDEF по свойству дельтоида, AE = a , EC = 2 a , так как EC = 2 AE по условию

= по свойству биссектрисы, = = , 2х + 4 = х + 5, х = 1, FB = BD = 1 см

ABCD – дельтоид, AB CB , KE ┴ CD ,

AB = BC = 2 см, CE = 1 см

∆ ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник, AB = BC = 2 см по условию, значит + = по теореме Пифагора, AC = 4 см

AC ┴ BD по свойству дельтоида, значит, ∆ KCD – прямоугольный треугольник,

AK = KC = 2 см, так как BK – медиана равнобедренного треугольника ABC

= CE ∙ CD по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

= 1 ∙ (1 + ED ), ED = 3 см

ABCD – дельтоид, CE ┴ AB , AD ┴ DC ,

∠ BAD = 100°, ∠ ECD = 80°

∠ BAD = ∠ BCD = 100° по свойству дельтоида, ∠ BCE = 100° — 80° = 20°

∠ BEC = 90°, так как CE ┴ AB по условию, ∠ EBC + ∠ BCE + ∠ BEC = 180° по теореме о сумме углов треугольника, тогда ∠ EBC = 180° — 20° — 90° = 70°.

BD – биссектриса ABCD по свойству дельтоида, ∠ DBC = ∠ ABD = = 35° по определению биссектрисы

При изучении темы «Четырёхугольники» дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается совершенно напрасно, т.к. эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире. В своей исследовательской работе мы постарались восполнить этот пробел школьной программы. Доказательства признаков и свойств дельтоида доступны учащимся общеобразовательных школ, т.к. не являются особо сложными. Содержание задач можно разнообразить, составив еще более сложные задачи, а так же задачи на построение или комбинацию дельтоида с другими фигурами. Считаем, что цели и задачи, поставленные нами в работе, достигнуты.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций.-М.:Просвещение, 2013.-383с.

Бутузов В.Ф., Дубровский В.Н., Кадомцев С.Б. Геометрия. 9 класс [Электронный ресурс]: программный продукт «1С»-учеб.электрон.изд.-ООО «1С-Паблишинг», 2009. — 1 электорн.опт.диск ( CD — ROM )

Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2013.-328с.

Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо, 2008.-304с.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-400с.

Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. -М.:Педагогика,1989.-352с.

Математика для школы [Электронный ресурс] -Режим доступа : http :// math 4 school . ru / chetyrehugolniki . html

Четырехугольники [Электронный ресурс]: учебный центр «Резольвента» / Режим доступа: http://www.resolventa.ru/

Доказательства свойств дельтоида

Углы между сторонами разной длины равны.

Рассмотрим ∆ ABC, AB = BC по определению дельтоида, тогда ∆ ABC – равнобедренный, значит ∠ BAC = ∠ BCA

Рассмотрим ∆ ADC , AD = CD по определению дельтоида, тогда ∆ ADC – равнобедренный, значит ∠ DAC = ∠ DCA

Так как ∠ BAC = ∠ BCA , ∠ DAC = ∠ DCA , то ∠ BAD = ∠ BCD

Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.

Рассмотрим ∆ ABC, AB = BC по определению дельтоида, тогда ∆ ABC – равнобедренный

Рассмотрим ∆ ADC , AD = CD по определению дельтоида, тогда ∆ ADC – равнобедренный

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника.

AB = BC по определению дельтоида, AD = CD по определению дельтоида, BD – общая сторона, тогда ∆ ABD = ∆ CBD по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам)

Главная диагональ является биссектрисой углов .

∠ ABD = ∠ CBD , ∠ ADB = ∠ CDB

Так как ∆ ABD = ∆ CBD , то ∠ ABD = ∠ CBD , ∠ ADB = ∠ CDB

Точка пересечения диагоналей делит неглавную диагональ на две равные части .

Точка O – точка пересечения диагоналей

AB = BC по определению дельтоида, BO – общая сторона, ∠ ABO = ∠ CBO по свойству дельтоида, тогда ∆ ABO = ∆ CBO по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Так как ∆ ABO = ∆ CBO , то AO = OC

Диагонали дельтоида (или их продолжения) взаимно перпендикулярны.

Точка O – точка пересечения диагоналей

Рассмотрим ∆ ABC, AB = BC по определению дельтоида, тогда ∆ ABC – равнобедренный

BO – биссектриса ∆ ABC , значит BO – медиана и высота ∆ ABC

Так как BO — высота ∆ ABC , значит AC ┴ BD

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 958 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 333 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Басина Елена ВалерьевнаНаписать 7462 03.05.2017

Номер материала: ДБ-437514

03.05.2017 154

03.05.2017 1023

03.05.2017 362

03.05.2017 321

03.05.2017 3251

03.05.2017 377

03.05.2017 1209

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Учительница из Киргизии победила в конкурсе Минпросвещения РФ «Учитель-международник»

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.