Даны вершины четырехугольника доказать что диагонали перпендикулярны
Обновлено
Поделиться
Даны вершины четырехугольника доказать что диагонали перпендикулярны
Вопрос по геометрии:
помогите пожалуйста решить. Даны вершины четырёхугольника А(1;-2;2), В(1;4;0), С(-4;1;1) и Д(-5;-5;3). Доказать что его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
АС и ВД перпендикулярны если угол между ними 90 градусов
найдем сos между АС и ВД
AC перпендикулярно BD
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Видео:Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать
Даны вершины четырехугольника доказать что диагонали перпендикулярны
2021-07-22 Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.
Первый способ.Необходимость. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны. Если $P$ их точка пересечения, то по теореме Пифагора
Аналогично докажем, что
Достаточность. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ известно, что
Рассмотрим отрезок $AC$. Известно, что геометрическое место точек $X$, для которых разность $AX^-CX^$ постоянна, есть прямая, перпендикулярная отрезку $AB$ (см. задачу @H2445). Поскольку точки $B$ и $D$ удовлетворяют этому условию, они лежат на этой прямой. Следовательно, $ACperp BD$. Второй способ.Необходимость. См. первый способ. Достаточность. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ известно, что
а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Обозначим
а т.к. по условию $AB^+CD^=BC^+AD^$, то
причём $ab+cd+bc+adne0$. Следовательно, $cosalpha=0$ и $ACperp BD$. Третий способ. Для любых точек $A$, $B$, $C$ и $D$ плоскости (пространства) верно равенство
Видео:№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать
Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (276 кБ)
Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи:
Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.
Видео:№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать
Ход урока
Введение
В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.
Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.
1. Теоретическая часть
Вариньон Пьер [1] (1654–1722)
Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).
Теорема Вариньона [2]
Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
ABCD – выпуклый четырехугольник
AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND
1) KLMN – параллелограмм;
Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL– средняя линия треугольника ABC(по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN– средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.
Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)
Следствия из теоремы Вариньона
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
Доказать: KLMN – ромб
Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
KM и LN перпендикулярны
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).
Что и требовалось доказать.
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны
KLMN – параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны
Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN – равны
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
Что и требовалось доказать.
Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны
KLMN – параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD
Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN
Доказать: KLMN – квадрат
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).
Что и требовалось доказать.
2. Практическая часть. Решение задач.
Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).
б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);
Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).
У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
См. теорему Вариньона.
Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.
Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.
Олимпиадные задачи
1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].
Доказать: SABCD= KM*LN
Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать.
2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].
Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.
Что и требовалось доказать.
Заключение
«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.
Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.
Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.
От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.
🎬 Видео
Геометрия Доказательство Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его угловСкачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
