Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Онлайн калькулятор. Проверить образуют ли вектора базис.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить образует ли заданый набор векторов базис (проверить линейную независимость векторов).

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на определение образует ли заданый набор векторов базис и закрепить пройденый материал.

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение векторов:

Инструкция использования калькулятора для проверки образуют ли вектора базис (проверки линейной независимости векторов)

  • Для того чтобы проверить образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов) онлайн:
  • выберите необходимую вам размерность пространства;
  • введите значение векторов;
  • Нажмите кнопку «Проверить образуют ли вектора базис» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Даны векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис. Показать, что векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисв этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисвполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базислинейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, значит, векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базислинейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисобязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисобразуют базис, то любой вектор Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисможно единственным способом разложить по данному базису: Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, где Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис– координаты вектора в базисе Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.

Поскольку наши векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисобразуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисможно единственным образом разложить по данному базису:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, где Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис– координаты вектора Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисв базисе Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.

По условию и требуется найти координаты Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.

Для удобства объяснения поменяю части местами: Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис. В целях нахождения Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисследует расписать данное равенство покоординатно:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, в правую часть записаны координаты вектора Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Таким образом:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис– разложение вектора Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базиспо базису Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.

Ответ: Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Даны векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис. Показать, что векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисобразуют базис и найти координаты вектора Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисв этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Ответ: при Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базиси Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.
Найдём векторы:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Вычислим определитель, составленный из координат векторов Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисне параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базиси Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.
Найдём векторы:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Вычислим определитель, составленный из координат векторов Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, значит, данные векторы коллинеарны, и Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис.
Вывод: Две стороны четырёхугольника Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базиспараллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Система не имеет решения, значит, векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисне коллинеарны.
Более простое оформление:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисне коллинеарны.
Ответ: векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисне коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис. Составим систему:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ: Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис(определитель раскрыт по первой строке):
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, значит, векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базислинейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса

Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Таким образом, векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базислинейно независимы и образуют базис.
Представим вектор Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисв виде линейной комбинации базисных векторов:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Покоординатно:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Систему решим по формулам Крамера:
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, значит, система имеет единственное решение.
Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Ответ: Векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисобразуют базис, Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урокаВекторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Видео:Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 6Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 6

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис. Показать, что векторы Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базисв этом базисе:

Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75 /182-1 46 /911 9 /13
-13 /141 2 /7-1
5 /1821 3 /91-1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис Даны векторы а1 а2 а3 а4 показать что векторы образуют базис
Решим полученную систему уравнений.

🌟 Видео

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 7Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 7

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 8Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 8

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 4Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 4

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 5Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 5

Семинар 3 - Задача 3 (Какие из векторов образуют базис?)Скачать

Семинар 3 - Задача 3 (Какие из векторов образуют базис?)
Поделиться или сохранить к себе: