Дан четырехугольник авсд докажите что ав вд ас сд

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №328
к главе «Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число ».

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.

Дан четырехугольник авсд докажите что ав вд ас сд

Источник задания: Решение 3351. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = CD = 5, AD = 8 и диагональю АС = 7.

а) Докажите, что около него можно описать окружность.

б) Найдите диагональ BD.

а) У любого четырехугольника вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусов. Покажем, что для заданного четырехугольника выполняется это свойство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором косинус угла B в соответствии с теоремой косинусов будет равен:

Аналогично для противоположного угла D из треугольника ACD, имеем:

Таким образом, получаем, что сумма углов , следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:

Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:

Вычтем (1) и (2), получим:

Подставим это значение в (1), найдем BD:

.

Ответ: .

Дан четырехугольник авсд докажите что ав вд ас сд

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:

поэтому ABC = 120°.

Далее,

поэтому ADC = 60°.

Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда

Ответ: б)

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.

Заметим, что поскольку Пусть тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов

В треугольнике BCD по теореме косинусов

Приравнивая выражения для BD 2 , получим

Приведем идею решения Юрия Зорина.

Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.