Курс школьной геометрии » Треугольник

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Обновлено
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.

1. Признак равенства по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Доказательство признаков прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. AB = A1B1 и AC = A1C1.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Доказательство признаков прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. AC = A1C1, Доказательство признаков прямоугольных треугольниковC = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковC1

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Содержание
  1. Теорема
  2. Доказательство
  3. Теорема
  4. Доказательство
  5. Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
  6. Определение
  7. Свойства прямоугольного треугольника
  8. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  9. Признаки прямоугольного треугольника
  10. Признаки подобия прямоугольных треугольников
  11. Прямоугольный треугольник
  12. 🎥 Видео

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны

Пример:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Доказательство признаков прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. BC = B1C1, Доказательство признаков прямоугольных треугольниковB = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковB1

Доказательство

Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 , то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Пример:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Доказательство признаков прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. BC = B1C1, AB = A1B1

Доказательство

Дано: Доказательство признаков прямоугольных треугольниковABC, Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1B1C1, BC = B1C1, AB = A1B1

Доказать: Доказательство признаков прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1B1C1

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Так как Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA = Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1, то Доказательство признаков прямоугольных треугольниковABC можно наложить на Доказательство признаков прямоугольных треугольниковA1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A1C1 и A1B1. При этом вершина B совместится с вершиной B1, потому что AB = A1B1. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C1. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C2 луча A1C1, то получим равнобедренный треугольник C1B1C2.

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

В Доказательство признаков прямоугольных треугольниковC1B1C2 углы при основании не равны (Доказательство признаков прямоугольных треугольниковC2 — острый, а Доказательство признаков прямоугольных треугольниковC1 — тупой, так как он смежный с углом B1C1A1, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C1. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A1B1C1, т.е. они равны, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Видео:Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольников

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.


Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

  1. Сумма острых углов 90˚.
  2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
  4. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
    Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Формулы:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна
    половине произведения катетов:
    Доказательство признаков прямоугольных треугольников
  2. Радиус описанной окружности около прямоугольного
    треугольника равен половине гипотенузы:
    Доказательство признаков прямоугольных треугольников
  3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
    выражается следующим образом:
    Доказательство признаков прямоугольных треугольников
  4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Видео:Доказательство I признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство I признака равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

  1. По двум катетам:
    Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Доказательство признаков прямоугольных треугольников
  2. По катету и гипотенузе:
    Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Доказательство признаков прямоугольных треугольников
  3. По гипотенузе и острому углу:
    Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольникиравны.
    Доказательство признаков прямоугольных треугольников
  4. По катету и острому углу:
    Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Видео:36. Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

36. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

  1. По теореме Пифагора:
    Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  2. По центру описанной окружности:
    Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
    то треугольник прямоугольный.
  3. По медиане:
    Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
    то треугольник прямоугольный.
  4. По площади:
    Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  5. По радиусу описанной окружности:
    Если радиус описанной окружности равен половине,
    то треугольник прямоугольный.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Доказательство признаков прямоугольных треугольниковЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

3. Теорема Пифагора:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников, где Доказательство признаков прямоугольных треугольников– катеты, Доказательство признаков прямоугольных треугольников– гипотенуза. Видеодоказательство

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

4. Площадь Доказательство признаков прямоугольных треугольниковпрямоугольного треугольника с катетами Доказательство признаков прямоугольных треугольников:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

5. Высота Доказательство признаков прямоугольных треугольниковпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Доказательство признаков прямоугольных треугольникови гипотенузу Доказательство признаков прямоугольных треугольниковследующим образом:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

7. Радиус Доказательство признаков прямоугольных треугольниковописанной окружности есть половина гипотенузы Доказательство признаков прямоугольных треугольников:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Доказательство признаков прямоугольных треугольниковвписанной окружности выражается через катеты Доказательство признаков прямоугольных треугольникови гипотенузу Доказательство признаков прямоугольных треугольниковследующим образом:

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Доказательство признаков прямоугольных треугольников

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

🎥 Видео

Признаки равенства прямоугольных треугольников #11Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников #11

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Доказательство III признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство III признака равенства прямоугольных треугольников

Доказательство IV признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство IV признака равенства прямоугольных треугольников

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Признаки равенства прямоугольных треугольников.Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Доказательство II признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство II признака равенства прямоугольных треугольников

Подобие прямоуголных треугольников. 1 признак.Скачать

Подобие прямоуголных треугольников. 1 признак.

Геометрия 7 класс : Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7 класс : Признаки равенства прямоугольных треугольников

Первые три признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Первые три признака равенства прямоугольных треугольников

Четвёртый признак равенства прямоугольных треугольников 1е доказательствоСкачать

Четвёртый признак равенства прямоугольных треугольников 1е доказательство

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников
Поделиться или сохранить к себе: