Дано: АВ, ВС, АС и AD — векторы.
Cначала чисто по векторам — СВ+DC-DA = CB-CD-DA (так как CD=-DC) =
CB-(CD+DA) =CB-CA = AB.
В равностороннем треугольнике по формуле АВ=2h/√3. h=√3 — дано.
АВ=2. Значит длина (модуль) вектора
Попробуем через координаты.
Привяжем систему координат к вершине А. Учитывая, что высоты треугольника равны, они являются и биссектрисами и медианами, а углы равностороннего треугольника равны по 60°, а также зная, что Sin30=1/2, Cos30=√3/2, Sin60=√3/2, Cos60=1/2, находим координаты наших точек.
Сложение векторов : a+b=(x1+x2;y1+y2)
Разность векторов : a-b=(x1-x2;y1-y2) В нашем случае:
Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Математический портал
Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется базисом в пространстве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор $a$ может быть представлен единственным образом в виде $$a=X_1e_1+X_2e_2+X_3e_3.qquadqquadqquadqquadqquad (1)$$ Числа $X_1, X_2, X_3$ называются координатами вектора в базисе $B=.$ Запись (1) называют разложением вектора $a$ по базису $B.$
Аналогично, упорядоченная пара неколлинеарных векторов $e_1, e_2$ называется базисом $B=(e_1, e_2)$ в множестве геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости.
Наконец, всякий ненулевой вектор $e$ образует базис $B=(e)$ в множестве геометрических векторов, коллинеарных некоторому направлению.
Если вектор $a$ есть линейная комбинация векторов $a_1, a_2, . a_n$ с коэффициентами $lambda_1, lambda_2, . lambda_n$, то есть $$a=sumlimits_^n lambda_ka_k$$ то каждая координата $X_i(a)$ вектора $a$ равна сумме произведений коэффициентов $lambda_1,lambda_2. lambda_n$ на одноименные координаты векторов $a_1, a_2, . a_n: $ $$X_i(a)=sumlimits_^nlambda_k X_i(a_k),qquad (i=1, 2, 3.)$$
Базис $B=(e_1, e_2, e_3)$ называется прямоугольным, если векторы $e_1, e_2$ и $e_3$ попрано перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения $$e_1=i;,, e_2-j;,, e_3=k.$$
Примеры.
2.26. Задан тетраэдр $OABC.$ В базисе из ребер $overline, overline$ и $overline$ найти координаты:
а) вектора $overline,$ где $D$ и $E$ середины ребер $OA$ и $BC.$
б) вектора $overline,$ где $F-$ точка пересечения медиан основания $ABC.$
Решение.
а)
Выразим вектор $overline$ через вектора $overline, overline, overline:$
Из треугольника $ODE$ имеем $overline=overline+overline.qquadqquadqquad (1)$
вектор $overline$ найдем из треугольника $OBE:$
здесь $overline=fracoverline,$ а вектор $overline$ находим из треугольника $OBC:$
Таким образом, из (2) получаем $overline=overline+frac(overline-overline).$
Наконец из (1) имеем $$overline=overline+overline=-fracoverline+overline+frac(overline-overline)=$$ $$=-fracoverline+fracoverline+fracoverline.$$
Таким образом, координаты вектора $overline$ в базисе из ребер $overline, overline, overline:$ $left(-frac,frac,fracright).$
Ответ: $left(-frac; frac; fracright).$
б)
Выразим вектор $overline$ через вектора $overline, overline, overline:$
Из треугольника $OFB$ имеем $overline=overline+overline.qquadqquadqquad (1)$
вектор $overline$ найдем из треугольника $BMC:$
здесь $overline=fracoverline,$ а вектор $overline$ находим из треугольника $OCA:$
Таким образом, из (2) получаем $$overline=overline+overline=overline-overline+fracoverline=$$ $$=overline-overline+frac(-overline+overline).$$
Наконец из (1) имеем $$overline=overline+overline=overline+fracoverline=$$ $$=overline+fracleft(overline-overline+frac(-overline+overline)right)=$$ $$=overline+fracoverline-fracoverline+frac(-overline+overline)=fracoverline+fracoverline+fracoverline.$$
Таким образом, координаты вектора $overline$ в базисе из ребер $overline, overline, overline:$ $left(frac; frac; fracright).$
Ответ: $left(frac; frac; fracright).$
2.27. В тетраэдре $OABC$ медиана $AL$ грани $ABC$ делится точкой $M$ в отношении $|overline|:|overline|=3:7.$ Найти координаты вектора $overline$ в базисе из ребер $overline, overline, overline.$
Решение.
Вектор $overline$ найдем из треугольника $AOM:$ $$overline=overline+overline.qquadqquadqquad (1)$$
Из условия $|overline|:|overline|=3:7$ имеем $overline=fracoverline.$ Из треугольника $ABL$ находим $overline=overline+overline=overline+fracoverline.$
Далее, из треугольников $AOB$ и $BOC$ получаем
Отсюда и из (1) получаем $$overline=overline+overline=overline+fracoverline+fracoverline+fracoverline=$$ $$=fracoverline-fracoverline+fracoverline.$$
Ответ: $left(frac; frac;fracright).$
2.29. В трапеции $ABCD$ известно отношение длин оснований $|overline|/|overline|=lambda$ Найти координаты вектора $overline$ в базисе из векторов $overline$ и $overline.$
Решение.
Вектор $overline$ можно найти из треугольника $ABC:$ $overline=overline+overline.$
$overline$ находим из треугольника $ACD:$ $overline=overline+overline=overline-overline.$
Из условия $|overline|/|overline|=lambda$ находим вектор $overline:$ $overline=-overline/lambda.$
Таким образом, $overline=-overline/lambda-overline;$
2.36. Заданы векторы $e(-1, 1, 1/2)$ и $a(2, -2, -1).$ Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение вектора $a$ по базису $B(e). $
Решение.
Векторы коллинеарны, если их направления совпадают или противоположны, т.е. тогда и только тогда когда их координаты пропорциональны. Проверим: $$frac=frac=frac=-frac,$$ то есть векторы $e$ и $a$ коллинеарны.
Найдем разложение вектора $a$ по базису $B(e),$ то есть найдем такое число $lambda$ что $a=lambda e:$
Ответ: $a=-2e.$
Домашнее задание.
2.28. Вне плоскости параллелограмма $ABCD$ взята точка $O.$ В базисе из векторов $overline, overline$ и $overline$ найти координаты:
а) вектора $overline$ , где $M$ точка пересечения диагоналей параллелограмма;
б) вектора $overline,$ где $K$- середина стороны $AD.$
Ответ: а) $(1/2; 0; 1/2);$ б) $(1, -1/2, 1/2).$
2.31. В треугольнике $ABC$ $overline=alphaoverline; overline=betaoverline;$ $overline=gammaoverline.$ Пусть $P, Q$ и $R -$ точки пересечения прямых $BF$ и $CK;$ $CK$ и $AM;$ $AM$ и $BF$ соответственно. В базисе из векторов $overline$ и $overline$ найти координаты векторов $overline,$ $overline$ и $overline.$
2.37. На плоскости заданы векторы $e_1(-1,2),$ $e_2(2,1)$ и $a(0,-2).$ Убедиться, что базис $B=e_1, e_2$ в множестве всех векторов на плоскости Построить заданные веткоры и найти разложение вектора $a$ по базису $B.$
Ответ: $a=-frace_1-frace_2.$
2.38. Показать, что тройка векторов $e_1(1,0,0), e_2(1,1,0)$ и $e_3(1,1,1)$ образуют базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора $a=-2i-k$ в базисе $B(e_1, e_2, e_3)$ и написать соответствующее разложение вектора по базису.
💥 Видео
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
№762. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) |AB+BC|Скачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Угол между векторами | МатематикаСкачать
Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать
Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать
Вычитание векторов. 9 класс.Скачать
ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать
Как находить угол между векторамиСкачать
Сложение векторов. 9 класс.Скачать
Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать
№763. В треугольнике АВС АВ=6, ВС=8, ∠B=90°. Найдите: а) |ВА|-|ВС| и |ВА- ВС|;Скачать
Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать