Пересекаются ли биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Точка пересечения биссектрис — свойства, теорема и соотношения

Видео:Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Общие сведения

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих их. Точки имеют другое название — вершины. Обозначается треугольник символом Δ, после которого идут 3 латинских буквы. Например, ΔMNO. Допускается использовать и русские литеры, но злоупотреблять этим не стоит.

В высших учебных заведениях преподаватели требуют от студентов международное обозначение. Кроме того, большинство программных продуктов и онлайн-сервисов воспринимают только латинские символы.

Существует определенная классификация Δ, на основании которой доказываются теоремы, выводятся формулы, свойства и решаются задачи. В последнем случае следует правильно производить идентификацию, чтобы избежать ошибок при расчетах.

Классификация треугольников

Необходимо отметить, что Δ различаются между собой по некоторым критериям.

Они бывают нескольких типов:

1. Произвольные.
2. Прямоугольные.
3. Равнобедренные.
4. Равносторонние.
5. Тупоугольные.
6. Остроугольные.

В первом случае стороны фигуры не равны между собой. Чтобы идентифицировать прямоугольный треугольник, необходимо рассмотреть его углы. Если один из них является прямым (равен 90 градусам), такая фигура называется прямоугольной. В третьем виде основным критерием считается наличие двух, равных между собой сторон.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Математики его называют «правильным». Он обладает важным свойством — вокруг него можно описать окружность. Пятый тип определяет наличие тупого угла, градусная мера которого больше 90. Если фигура является остроугольной, это значит, что все 3 его угла меньше 90, т. е. являются острыми.

Один треугольник может относиться к нескольким типам. Например, прямоугольный Δ может быть равнобедренным на основании свойства геометрии: если Δ является равнобедренным, то углы (∠), образованные боковыми сторонами с основанием, равны между собой. В этом случае их градусные меры эквивалентны 45, поскольку сумма ∠ любого Δ составляет 180. Следовательно, 180 — 90 = 2k, где неизвестная величина «к» соответствует углу при основании.

Решая уравнение, можно получить искомое значение угла: k = 45. Исходя из вычислений, треугольник является прямоугольным и равнобедренным.

Дополнительные элементы

У любого Δ существуют определенные дополнительные элементы, необходимые при построении чертежей или схематических рисунков, доказательства теорем и решения задач по геометрии.

К ним относятся:

Биссектриса — отрезок (прямая), проходящий через вершину Δ и делящий угол на 2 равные части. Медиана — единственный отрезок для каждой вершины, соединяющий ее с серединой стороны, на которую он опущен.

Высотой является перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

В равнобедренном и равностороннем треугольниках биссектриса является медианой и высотой. В последнем случае их можно провести всего 3.

Однако в произвольном Δ — по 3, т. е. 3 высоты, 3 медианы и 3 биссектрисы.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Теорема о биссектрисах

Теорема о биссектрисах треугольника звучит таким образом: в любом Δ биссектрисы пересекаются только в одной точке — инцентре фигуры. Для доказательства нужно построить произвольный ΔКLМ, а затем следовать по такому алгоритму:

1. Провести биссектрисы LN (к стороне КМ) и КU (к LM).
2. На рисунке видно, что LN и KU пересекаются в одной точке (W).
3. Доказывать теорему следует от противного — пусть биссектрисы не пересекаются.
4. Если прямые не пересекаются, значит, они параллельны, т. е. LN || KU. Следовательно, KL — секущая.
5. Сумма градусных мер односторонних углов эквивалентна 180, т. е. (∠К/2) + (∠L/2) = 180 (свойство параллельных прямых и секущей).
6. Из соотношения в 5 пункте следует, что сумма ∠К + ∠L = 360.
7. Сумма углов Δ эквивалентна 180. Однако при сложении значений двух ∠ величина их суммы больше 180. Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Необходимо доказать, что третья биссектриса (МV), проведенная из вершины М, проходит через точку W. Это делается таким образом:

1. Из W следует опустить перпендикуляры на стороны Δ: WG, WF и WE.
2. Нужно рассмотреть 2 ΔGBW и ΔBFW, которые являются прямоугольными, поскольку WG и WF — перпендикуляры, а BW — общая сторона. Углы ∠GBW и ∠WВF равны, т. к. их образует биссектриса LN (общий угол будет делиться на 2 равные части). Следовательно, ΔGBW и ΔBFW равны.
3. Из равенства ΔGBW и ΔBFW получается отношение WG и WF.
4. Аналогично доказывается равенство сторон WG и WЕ.

Далее следует рассмотреть ∠М. Следовательно, что координата точки W равноудалена от вершины М. На основании признака биссектрисы, W лежит на МV, поскольку W — точка пересечения биссектрис треугольника КLМ. Утверждение доказано.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства и соотношения

На основании теоремы о биссектрисах Δ были получены некоторые важные свойства, которые рекомендуется применять при решении задач и доказательства других утверждений:

1. Центр вписанной окружности соответствует точке их пересечения.
2. Точка при пересечении делит биссектрису по такому соотношению: отношение суммарного значения прилежащих к противолежащей стороне.
3. Угол между биссектрисами двух смежных углов является прямым.
4. В равнобедренном Δ равны только 2 биссектрисы, а в равностороннем — 3. Кроме того, она является медианой и высотой.

При решении задач нужно находить их длину (L).

Для удобства необходимо обозначить стороны таким образом: КМ = d, КL = e и LМ = f, чтобы воспользоваться следующими формулами через известные параметры треугольника:

1. Все стороны: Lm = [2 * (d * e * p * (p — f))^(½)] / (d + e), Lк = [2 * (d * f * p * (p — e))^(½)] / (d + f) и Ll = [2 * (d * f * p * (p — e))^(½)] / (d + f). Параметр «р» — полупериметр, т. е. р = (d + e + f) / 2.
2. Стороны и угол: Lm = (2 * d * e * cos (∠M)) / (d + e), Lk = (2 * d * f * cos (∠K)) / (d + f) и Ll = (2 * f * e * cos (∠L)) / (f + e).

Соотношения позволяют найти не только длины Lk, Lm и Ll, но и другие параметры треугольников. Следует отметить, что углы во второй группе формул соответствуют биссектрисам, исходящим из них.

Таким образом, для решения задач на нахождение длины биссектрис необходимо знать теорию, доказательство теоремы, свойства, а также основные соотношения.

Видео:Почему биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Свойства биссектрис треугольника

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник

Биссектриса угла треугольника — это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.

Биссектриса угла треугольника – это множество точек, равноудаленных от его сторон. Это значит, что от любой точки, лежащей на биссектрисе угла, расстояния до сторон угла равны.

Пусть точка О лежит на биссектрисе угла АВС. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, поэтому треугольники ВОС и ВОА на рисунке – прямоугольные.

Здесь отрезки ОА и ОС – расстояния от точки О до сторон ВА и ВС угла АВС.

Прямоугольные треугольники ВОС и ВОА равны по острому углу и гипотенузе. Значит, ОА = ОС и любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Пусть биссектрисы углов А и В треугольника пересекаются в точке Р. Тогда точка Р равноудалена от сторон АВ и АС, поскольку лежит на биссектрисе угла А, а также от сторон ВС и ВА, поскольку лежит на биссектрисе угла В. А это значит, что точка Р равноудалена и от прямых АС и ВС, то есть лежит на биссектрисе угла C.

Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы углов треугольника»

В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC – угол C. Он равен .

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть и .

Угол AOF – внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть .

🎦 Видео

№230. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMBСкачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

В правильной треугольной пирамиде биссектрисы пересекаютсяСкачать

Секретные формулы биссектрисы треугольника!😉❤️‍🔥#математика #егэСкачать

Угол между двумя биссектрисами треугольникаСкачать

Биссектрисы треугольника.Скачать

Свойства биссектрисы треугольникаСкачать

№677. Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC пересекаются в точке ОСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Геометрия Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольникеСкачать