Что такое взаимная ориентация векторов

Определение взаимной ориентации векторов , и основано на следующих соображениях. Если , то , , – правая тройка; если , то , , – левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю :

векторы , , компланарны.

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен .

Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки и . Найти объем пирамиды.

Решение. Находим векторы , , :

.

Находим :

.

Следовательно, .

Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная(декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба берут обычно одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения О – началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Оx), другую – осью ординат (осью Оy) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат − вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят

плоскость на четыре области – четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают и .

Систему координат обозначают Oxy (или ), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Oxy. Вектор называется радиус-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат Oxy ( ) называются координаты радиус-вектора . Если , то координаты точки М записываются так: , число х называется абсциссой точки М, у – ординатой точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Оp,

называемой полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Оp.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут , при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным углом.

Для построения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (или ), а полярный радиус – . В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось с положительной полуосью Ох. Пусть х и у – прямоугольные координаты точки М, а r и φ – ее полярные координаты.

Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

Определяя величину φ, следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Пример 9.1. Дана точка . Найти полярные координаты точки М.

Решение: Находим r и φ:

Отсюда Но так как точка М лежит в 3-й четверти, то и . Итак, полярные координаты точки М есть , т.е. .

Дата добавления: 2015-01-15 ; просмотров: 11 ; Нарушение авторских прав

3.5.5 Свойства электромагнитных волн. Взаимная ориентация векторов в электромагнитной волне в вакууме

Видеоурок: Опыты Герца. Свойства электромагнитных волн

Лекция: Свойства электромагнитных волн. Взаимная ориентация векторов в электромагнитной волне в вакууме

Опыты Максвелла доказали, что электрический ток в вакууме распространяется со скоростью, с которой движется свет, то есть 3*10 8 м/с.

При движении зарядов, которые создают ток, образуется две составляющих поля — электрическое и магнитное поле.

Опыт Герца

Чем быстрее будет происходить перемещение заряда, тем выразительнее будут электромагнитные волны. То есть, чем больше частота, тем большая интенсивность электромагнитных волн.

На частоту колебательного контура влияет индуктивность и ёмкость составляющих элементов цепи. Определить её можно по следующей формуле:

Электромагнитные волны являются поперечными. Это значит, что колебания магнитного и электрического поля происходят в плоскостях, которые являются параллельными к распространению волны.

На графике можно рассмотреть электрическую и магнитную составляющую электромагнитной волны.

Стоит отметить, что силовые характеристики магнитного и электрического поля находятся под углом 90 градусов друг к другу.

На графике показана длина волны, которая обозначается λ. Для её определения необходимо воспользоваться формулой:

Правила электромагнитных волн

Электромагнитным волнам присущи все правила, справедливые для механических волн:

1. Стоит отметить, что электромагнитная волна способна отразиться от плотного металла.

2. Через диэлектрик электромагнитная волна проходит достаточно проблематично, поскольку она им поглощается.

3. Если электромагнитная волна переходит из одной среды в другую, которая отличается плотностью, то она способна преломиться.

Что такое взаимная ориентация векторов

Для дальнейшего изучения свойств пространства необходимо ввести определение ориентации пространства. Строгая теория, касающаяся этого понятия не очень сложна, но достаточно суха. В связи с этим ограничимся лишь некоторыми “качественными” пояснениями.

Итак, все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.

Определение 1: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а 1 , а 2 , а 3 называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от а 1 к а 2 и от а 2 к а 3 кажутся происходящими против часовой стрелки. Если повороты происходят по часовой стрелке, то тройка – левая.

Есть и ещё один способ разделить эти два класса:

Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.

Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.

Далее будем считать положительными правые тройки векторов. Все дальнейшие определения будем давать с учетом этого

Определение 2: Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число ( a , b )=| a | · | b | · cosφ a , b .

Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: ( a , b )=( b , a )

3. ( a , b )=0 a b

4. Дистрибутивность: ( a 1 + а 2 , b )= ( a 1 , b )+ ( a 2 , b )

5. ( а , λ ·b )= λ · ( a , b ) λ R .

Утверждение 1: В декартовом базисе если а =, b =, то ( a , b )= x 1 · x 2 + y 1 · y 2 + z 1 · z 2 .

Пример 1. Найти угол между векторами.

Определение 3: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [ a , b ], такой что

1. | [ a , b ] |=S a , b , где S a , b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b . (Если a || b , то S a , b =0.)
2. a[ a , b ] b .
3. a, b , [ a , b ] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1. [ a , b ] = -[ b , a ]
2. [ a , b ] = θ ó a || b
3. [ a 1 + a 2 , b ] = [ a 1 , b ]+[ a 2 , b ]
4. λ·[ a , b ] = [λ ·a , b ] = [ a ,λ ·b ] λ R .

Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i , j , k ), a =, b =

=> [ a , b ] =

=

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Определение 4: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a , b и c называется число , b , c> , т.ч. a , b , c >=([ a , b ], c ).

Утверждение 3: a , b , c >=V a , b , c , если a , b , c – правая тройка, или a , b , c >= -V a , b , c , если a , b , c – левая тройка. Здесь V a , b , c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c . (Если a , b и c компланарны, то V a , b , c =0.)

Утверждение 4: В декартовой системе координат, если a =, b =,

с =, => a , b , c >=.

Пример 3. Проверка компланарности векторов.

Пример 4. Принадлежность 4 точек одной плоскости.

Пример 5. Вычислить объем тетраэдра и его высоту.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter