Что такое вектор внешней нормали

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Видео:Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Что такое вектор внешней нормали

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Видео:Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебра

Вектор нормали: расчет и пример

Видео:Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/

Содержание:

В нормальный вектор Он определяет направление, перпендикулярное рассматриваемому геометрическому объекту, который может быть, например, кривой, плоскостью или поверхностью.

Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как вектор нормали к произвольной кривой C:

Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.

Обратите внимание, что вектор Т касается C в каждой точке, а вектор N перпендикулярно Т y указывает на центр воображаемого круга, дуга которого является сегментом C. Векторы выделены жирным шрифтом в печатном тексте, чтобы отличать их от других не векторных величин.

Вектор Т он всегда указывает, куда движется частица, следовательно, указывает ее скорость. Вместо вектора N всегда указывает в том направлении, в котором вращается частица, отмечая, таким образом, вогнутость кривой C.

Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1

Как получить вектор нормали к плоскости?

Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором с модулем 1, но если это так, он называется нормальный единичный вектор.

Во многих приложениях необходимо знать вектор нормали к плоскости вместо кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим самолет п (желтый) рисунка:

К этой плоскости есть два нормальных вектора: п1 Y п2. Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если вы знаете его уравнение:

ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.

Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:

N = а я + b j + c k

Здесь вектор N Он выражается через единичные векторы и перпендикулярно друг другу. я, j Y k, направленных по трем направлениям, определяющим пространство X и Zсм. рисунок 2 справа.

Видео:Вектор нормали к поверхности поля в точкеСкачать

Вектор нормали к поверхности поля в точке

Вектор нормали из векторного произведения

Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.

Как известно, три разные точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость Р. Теперь можно получить два вектора или Y v которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.

Когда у вас есть векторы, векторный продуктили Икс v — операция, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой или Y v.

Известный этот вектор, он обозначается как N, и из него можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:

N = или Икс v

На следующем рисунке показана описанная процедура:

Видео:✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис ТрушинСкачать

✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис Трушин

пример

Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).

Видео:Что такое нормаль?Скачать

Что такое нормаль?

Решение

Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB Y AC.

Вектор AB — вектор, начало которого — точка A, а конец — точка B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:

AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k

Таким же образом поступаем и находим вектор AC:

AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k

Видео:Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-ГауссаСкачать

Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Расчет векторного произведения AB x AC

Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения между двумя векторами. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для поиска векторных произведений между единичными векторами. я, j Y k:

Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:

я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0

А поскольку векторное произведение — это еще один вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:

я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j

Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):

j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j

Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.

AB Икс AC = (-2я + 0j -2 k) х (2я + j -2 k)= -4(я Икс я) -2(я Икс j)+4 (я Икс k)+0 (j Икс я) + 0 (j Икс j) – 0 (j Икс k) – 4 (k Икс я)-2 (k Икс j) + 4 (k Икс k) = -2k-4j-4j+2я = 2я -8j-2k

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Уравнение плоскости

Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:

N = 2я -8j-2k

Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:

ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

Значение d. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Выбор C, например:

2,4 — 8,2 — 2,1 + d = 0

Вкратце, искомая карта:

Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы такой же результат, если бы вместо выполнения AB Икс AC они бы предпочли произвести AC Икс AB. Ответ: да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.

Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.

Видео:#3.2 Найти поток вектора a=x^3i+y^3j=z^3k через всю поверхность куба в направлении внешней нормалиСкачать

#3.2 Найти поток вектора a=x^3i+y^3j=z^3k через всю поверхность куба в направлении внешней нормали

Ссылки

  1. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 31-62.
  2. Нахождение нормали к плоскости. Получено с: web.ma.utexas.edu.
  3. Ларсон, Р. (1986). Исчисление и аналитическая геометрия. Мак Гроу Хилл. 616-647.
  4. Линии и плоскости в R 3. Получено с: math.harvard.edu.
  5. Нормальный вектор. Получено с сайта mathworld.wolfram.com.

Баннер Mexica: история, характеристики, символика

Шиитаке: свойства, характеристики, среда обитания, размножение

Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 1Скачать

Вектор Умова-Пойнтинга ● 1

Нормали и обратное транспонирование, часть 2: сопряжённые пространства

В первой части мы рассмотрели внешнюю алгебру и поняли, что векторы нормали в 3D можно интерпретировать как бивекторы. Для преобразования бивекторов в общем случае нужна матрица отличная от той, которая преобразует обычные векторы. Воспользовавшись каноническим базисом для бивекторов, мы выяснили, что это присоединённая матрица, которая пропорциональна обратной транспонированной. Эти рассуждения хотя бы частично объяснили почему нормали преобразуются обратной транспонированной матрицей.

Но некоторые вопросы были заметены под ковёр.

Мы рассмотрели присоединённые матрицы, но не показали как они связаны с алгебраическим доказательством того, что для преобразования уравнения плоскости Что такое вектор внешней нормалинужна обратная транспонированная матрица. Пропорциональность между матрицами была в некотором смысле притянута за уши.

Более того, мы увидели, что Что такое вектор внешней нормали-векторы из внешней алгебры снабжают векторные геометрические объекты естественной интерпретацией, в которой они содержат единицы длины, площади и объёма, измкеняющиеся соответствующим образом при масштабировании. Но мы не нашли ничего подобного для плотностей — единиц, обратных к длине, площади и объёму.

В этой статье мы рассмотрим ещё одну геометрическую концепцию, которая понадобится для завершения картины. Слияние этой новой концепции с уже изученной внешней алгеброй прояснит и разрешит оставшиеся вопросы.

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Функции как векторы

Большая часть этой статьи будет рассматривать функции, которые принимают и возвращают векторы различных типов. Чтобы её понять, нужно совершить некоторый умственный кувырок, который может показаться контринтуитивным, если вы не встречали его ранее.

Вот он: функции, которые возвращают векторы, сами являются векторами

С первого взгляда это утверждение может показаться бессмысленным. Векторы и функции — это совершенно разные вещи, как например яблоки и… стулья, не так ли? Как функция буквально может быть вектором?

Посмотрев на формальное определение векторного пространства, вы не найдёте в нем ничего конкретного о структуре векторов. Мы часто представляем их себе как стрелки с длиной и направлением, или как упорядоченные наборы чисел (координат). Но всё же, в сухом остатке для создания векторного пространства нужен набор сущностей, которые поддерживают две базовые операции: сложение между собой и умножение на скаляры (здесь это действительные числа). Эти операции должны подчиняться нескольким разумным аксиомам.

Функции тоже можно складывать между собой! Две функции Что такое вектор внешней нормалии Что такое вектор внешней нормалиможно сложить поточечно и получить новую функцию Что такое вектор внешней нормалидля каждой точки Что такое вектор внешней нормалив области определения. Аналогично, функция может быть поточечно умножена на скаляр: Что такое вектор внешней нормали. Эти операции удовлетворяют аксиомам векторного пространства, потому любое множество подходящих функций формирует полноправное векторное пространство, называемое функциональным пространством.

Запишем формальнее: пусть есть область определения Что такое вектор внешней нормали(любое множество, не обязательно векторное пространство) и область значений Что такое вектор внешней нормали— векторное пространство. Тогда множество функций Что такое вектор внешней нормалиобразуют векторное пространство относительно поточечного сложения и умножения на скаляр. Область значений должна быть векторным пространством чтобы в нём работало сложение и перемножение значений функции, но области определения не обязательно быть векторным пространством, и вообще «пространством». Она может быть хоть дискретным множеством.

Понимание трактовки функций как векторов даёт возможность применять методы линейной алгебры при работе в функциями. Получается большая ветвь математики, называемая функциональным анализом.

Видео:Поток вектора через поверхность. Дивергенция. (Теория поля - урок 4)Скачать

Поток вектора через поверхность. Дивергенция. (Теория поля - урок 4)

Линейные формы и сопряжённое пространство

Отсюда и далее будем рассматривать особый класс функций, называемый линейными формами.

Пусть есть векторное пространство Что такое вектор внешней нормали, например трёхмерное Что такое вектор внешней нормали, тогда линейная форма на Что такое вектор внешней нормалиопределяется как линейная функция Что такое вектор внешней нормали. То есть, это линейная функция которая принимает вектор и возвращает скаляр.

(Замечание для математиков: в этой статье я рассматриваю только конечномерные пространства над Что такое вектор внешней нормали, поэтому некоторые утверждения могут быть неверны для векторных пространств в общем случае. Извините!)

Мне нравится визуализировать линейные формы как последовательности параллельных равноотстоящих плоскостей (3D) или линий (2D), то есть линий/поверхностей уровня функции, отстоящих друг от друга на единицу в величинах значений функции. Вот несколько примеров:
Что такое вектор внешней нормали
Здесь градиенты показывают ориентацию линейной формы — функция возрастает в сторону возрастания непрозрачности градиента. Линии резкого изменения цвета пересекают оси в целых точках. Заметим, что «бо́льшие» линейные формы (в смысле бо́льших выходных значений) соответствуют более плотному размещению линий, и наоборот.

Выше показано, что линейные формы над векторным пространством могут сами трактоваться как векторы в своём собственном функциональном пространстве. Линейные комбинации линейных функций так же являются линейными функциями, потому они образуют полноценное векторное пространство.

Это линейное пространство — множество линейных форм над Что такое вектор внешней нормали— достаточно значимо, чтобы иметь отдельное название: сопряжённое (или двойственное) пространство. Оно обозначается через Что такое вектор внешней нормали. Элементы двойственного пространства (линейные формы) называются двойственными векторами или ковекторами.

Естественная свёртка

Тот факт, что двойственные векторы — это линейные, а не какие угодно функции из Что такое вектор внешней нормалив Что такое вектор внешней нормали, сильно ограничивает их поведение. У линейных функций на Что такое вектор внешней нормали-мерном векторном пространстве есть только Что такое вектор внешней нормалистепеней свободы, в отличие от произвольных функций, у которых может быть сколько угодно степеней свободы. Иными словами, у Что такое вектор внешней нормалита же размерность, что и у Что такое вектор внешней нормали.

Конкретнее, линейная форма на Что такое вектор внешней нормалиполностью определяется своими значениями при применении к Что такое вектор внешней нормаливекторам базиса. Значение на любом другом векторе может быть выведено через линейность. Например, если Что такое вектор внешней нормали— линейная форма над Что такое вектор внешней нормалии Что такое вектор внешней нормали— произвольный вектор, то:

Что такое вектор внешней нормали

Если вы думаете, что это выражение выглядит очень похожим на скалярное произведение Что такое вектор внешней нормалии Что такое вектор внешней нормали— вы правы!

Действительно, операция применения линейной формы к вектору имеет свойства произведения между сопряжённым пространством и основным: Что такое вектор внешней нормали. Это произведение называется естественной свёрткой.

Как и скалярное произведение векторов, естественная свёртка возвращает действительное число, и является билинейной, то есть линейной по обоим аргументам. Тем не менее, здесь мы берём произведение не двух векторов, а двойственного вектора с «обычным» вектором. Линейность по левому аргументу получается из поточечного сложения и умножения линейных форм, а по правому — из того, что линейные формы… линейны на своих векторных аргументах.

Далее будем обозначать естественную свёртку угловыми скобками: Что такое вектор внешней нормали. Здесь Что такое вектор внешней нормали— двойственный вектор в Что такое вектор внешней нормали, а Что такое вектор внешней нормали— вектор в Что такое вектор внешней нормали. Повторюсь, что это лишь вычисление линейной формы Что такое вектор внешней нормаликак функции от вектора Что такое вектор внешней нормали. Но так как функции это векторы, а двойственные векторы — линейные функции, эта операция имеет свойства произведения.

Вышеприведённая формула выглядит вот так в новой нотации с угловыми скобками:

Что такое вектор внешней нормали

Обратите внимание, что теперь эта операция выглядит «всего лишь» как навешивание дистрибутивного атрибута, чем она и является.

Двойственный базис

Вышеупомянутую конструкцию можно использовать для определения канонического базиса Что такое вектор внешней нормалидля данного базиса Что такое вектор внешней нормали. Конкретнее, нам нужно сделать числа Что такое вектор внешней нормаликоординатами ковектора Что такое вектор внешней нормалив некотором базисе, так же как Что такое вектор внешней нормалиявляются координатами в базисе пространства Что такое вектор внешней нормали. Этого можно достичь определением двойственных базисных векторов Что такое вектор внешней нормалипри условиях:

Что такое вектор внешней нормали

и аналогичных для Что такое вектор внешней нормали. Все девять условий можно записать кратко:

Что такое вектор внешней нормали

Этот двойственный базис существует и единственный для заданного базиса в Что такое вектор внешней нормали.

Геометрически, двойственный базис состоит из линейных форм, которые отмеряют расстояние вдоль каждой из осей, а поверхности уровня этих линейных форм параллельны всем остальным осям. Они не обязаны быть перпендикулярными оси, которую отмеряют. Это происходит, только если базис ортонормированный. Это свойство сыграет важную роль ниже.

Вот пара примеров векторных базисов и соответствующих им двойственных базисов:
Что такое вектор внешней нормали

А вот пример разложенной по базису линейной формы Что такое вектор внешней нормали:
Что такое вектор внешней нормали

Возьмём двойственный базис из определения выше и выразим двойственный вектор Что такое вектор внешней нормалии вектор Что такое вектор внешней нормаличерез соответствующие базисы. Тогда естественная свёртка Что такое вектор внешней нормалискукоживается до скалярного произведения:

Что такое вектор внешней нормали

Видео:Демидович №4441б: поток радиус-вектора через замкнутую поверхностьСкачать

Демидович №4441б: поток радиус-вектора через замкнутую поверхность

Преобразования двойственных векторов

В предыдущей статье мы видели, что хотя векторы и бивекторы кажутся структурно одинаковыми (у обоих по три компоненты в трёхмерном случае), они имеют различный геометрический смысл и поведение при преобразованиях, в частности, при масштабировании.

Двойственные векторы становятся третьим примером в этом классе объектов! Двойственные векторы тоже «вектороподобны» (подчиняются аксиомам векторного пространства), структурно схожи с векторами и бивекторами (состоят из трёх компонент в 3D), но имеют другой геометрический смысл (линейные формы). Так давайте же посмотрим на поведение двойственных векторов при трансформациях!

Двойственные векторы — это линейные формы, то есть функции. Как преобразовать функцию?

Можно вообразить это так: значения функций идут вместе с аргументами из области определения. Вообразите, что каждая точка в области определения помечена значением функции. Применим преобразование к точкам: они куда-то передвинутся и перенесут с собой свои метки. (А ещё это можно вообразить как преобразование графика функции, понимаемого как набор точек в пространстве на размерность выше).

Более формально: пусть на векторы действует матрица Что такое вектор внешней нормали, и эту же матрицу нужно применить к функции Что такое вектор внешней нормали, чтобы получилась новая функция Что такое вектор внешней нормали. Для этого нужно лишь чтобы Что такое вектор внешней нормалиот преобразованного вектора равнялась Что такое вектор внешней нормалиот исходного вектора:

Что такое вектор внешней нормали

Что такое вектор внешней нормали

Иными словами, функцию можно преобразовать, соорудив новую функцию которая применяет обратное преобразование к своему аргументу и подаёт его в исходную функцию.

Заметим, что это работает только для обратимых Что такое вектор внешней нормали. В противном случае наша картинка про «перенос значений функции вместе с аргументами» рассыпается: необратимая Что такое вектор внешней нормалиможет схлопнуть несколько различных точек области определения в одну.

Однородное масштабирование

Теперь, когда мы понимаем как преобразовать функцию, давайте посмотрим на однородное масштабирование. Возьмём коэффициент Что такое вектор внешней нормали0$» data-tex=»inline»> , тогда вектор будет отображаться как Что такое вектор внешней нормали. Тогда функции будут преобразованы как Что такое вектор внешней нормалисогласно предыдущему разделу.

Давайте теперь посмотрим на это с точки зрения двойственного вектора, а не функции. Если Что такое вектор внешней нормалидля некоторого вектора Что такое вектор внешней нормали, то что произойдёт при масштабировании в Что такое вектор внешней нормалираз?

Что такое вектор внешней нормали

Я всего лишь переместил множитель Что такое вектор внешней нормалис одной стороны угловых скобок на другую, что допустимо, так как угловые скобки билинейны. Итак, мы показали что двойственный вектор Что такое вектор внешней нормалипреобразуется следующим образом:

Что такое вектор внешней нормали

Это интересно! При масштабировании вектора в Что такое вектор внешней нормалираз, двойственный вектор масштабируется как Что такое вектор внешней нормали. В предыдущей статье мы оправдали назначение единиц «площади» и «объёма» бивекторам и тривекторам через их поведение при масштабировании. Следуя этому принципу заключим, что двойственные векторы несут единицы, обратные длине!

Фактически, двойственные векторы представляют ориентированные линейные плотности. Они предоставляют инструментарий для количественных рассуждений о ситуациях, когда нечто скалярное (например, количество текселей, прозрачность, изменение электрического напряжения/температуры/давления) распределено вдоль какого-то измерения в пространстве. При свёртывании двойственного вектора с вектором (то есть при вычислении линейной формы над вектором), вы по сути спрашиваете «какое количество этого «нечто» данный вектор охватывает?»

При масштабировании мы сохраняем количество «нечто». Если масштабирование увеличивает, плотность уменьшается, потому что одинаковое количество чего-либо теперь распределяется на большее расстояние, и наоборот. Это свойство воплощается в обратности масштабирования двойственных векторов.

Сдвинутый двойственный вектор и обратное транспонирование

Мы рассмотрели как однородное масштабирование обращается при применении к двойственным векторам. Теперь мы могли бы изучить неоднородное масштабирование, но так получается, что оно не очень интересно — как вы и могли подумать, оно всего лишь применяется как масштабирование на обратную величину к каждой из осей. Куда более показательным будет изучение сдвига.

Для этого нам будет достаточно двумерного случая. Для примера возьмём преобразование, которое немного наклоняет ось Что такое вектор внешней нормалив сторону Что такое вектор внешней нормали:

Что такое вектор внешней нормали

Вот как это выглядит:
Что такое вектор внешней нормали
А что произойдёт если применить это преобразование к двойственному вектору? Визуально всё понятно: изолинии линейной формы наклонятся вслед за сдвигом.
Что такое вектор внешней нормали
Но как это выразить в виде матрицы, действующий на координаты двойственного вектора? Давайте присмотримся к компоненте Что такое вектор внешней нормали. Заметим, что преобразование Что такое вектор внешней нормалине повлияло на ось Что такое вектор внешней нормали— она отобразилась сама в себя. Но что насчёт Что такое вектор внешней нормали?
Что такое вектор внешней нормали
Компонента Что такое вектор внешней нормалиизменяется этим преобразованием, потому что изолинии приобретают наклон! Иными словами, несмотря на то, что расстояния вдоль оси Что такое вектор внешней нормалине изменились, Что такое вектор внешней нормали«отслеживает» что делают другие оси, потому что ей надо оставаться параллельной этим осям. Это одно из определяющих условий, на которых работает двойственный базис.

Строго говоря, здесь Что такое вектор внешней нормалипереходит в Что такое вектор внешней нормали. Доводя дело до конца, мы увидим, что вся матрица, применяемая к координатам двойственного вектора, имеет вид

Что такое вектор внешней нормали

А это и есть обратная транспонированная Что такое вектор внешней нормали!

Прослеживается некоторая аналогия эффекта обратной транспонированной матрицы, рассмотренной здесь, с воздействием присоединённой матрицы на бивекторы из предыдущей статьи. Как и с бивекторами, каждый элемент двойственного базиса следит за тем, что происходит с другими осями (чтобы сохранять параллельность им), но так же масштабируется на обратную величину вдоль своей оси. Определитель Что такое вектор внешней нормалисоответствует совокупному масштабированию по всем осям:

Что такое вектор внешней нормали

Отсюда мы можем перейти к

Что такое вектор внешней нормали

что соответствует соотношению между обратной транспонированной и присоединённой матрицами.

Что такое вектор внешней нормали

Здесь я проделываю очень нестрогий трюк, потому что хорошая геометрическая демонстрация заведёт нас в ещё большие дебри, а такой способ даёт хоть немного интуитивного понимания почему обратную транспонированную матрицу правомерно применять к двойственным векторам.

Видео:Непосредственное вычисление потокаСкачать

Непосредственное вычисление потока

Так что же такое вектор нормали?

Ранее мы увидели, что поверхности уровня линейной формы — это параллельные линии в 2D или плоскости в 3D. Отсюда следует, что мы можем определить плоскость, взяв определённую поверхность уровня данного двойственного вектора:

Что такое вектор внешней нормали

Двойственный вектор Что такое вектор внешней нормаливыступает как знаковое поле расстояний плоскости.

Так же мы увидели, что если выразить естественную свёртку Что такое вектор внешней нормалив терминах базиса и соответствующего ему двойственного базиса, то она превратится в скалярное произведение Что такое вектор внешней нормали. После чего уравнение выше становится обычным уравнением плоскости:

Что такое вектор внешней нормали

Отсюда видно, что координаты двойственного вектора в двойственном базисе так же являются координатами вектора нормали в стандартном векторном базисе.

Итак, векторы нормали можно интерпретировать как двойственные векторы в двойственном базисе, поэтому они преобразуются обратной транспонированной матрицей.

Но постойте. В предыдущей статье я сказал, что нормали надо понимать как бивекторы, а потому их надо трансформировать присоединённой матрицей, не так ли? Как правильно то?

Мне кажется, на этот вопрос нет единственного правильного ответа. Идея «нормального вектора» слишком расплывчата, и её можно оправдано формализовать как через бивекторы, так и через двойственные векторы. Как было показано, оба способа преобразования эквивалентны в смысле ориентации: и бивекторы и двойственные векторы остаются перпендикулярными определяющей их плоскости, следуя условиям Что такое вектор внешней нормалиили Что такое вектор внешней нормалисоответственно. Различаются они только единицами измерения и реакцией на масштабирование: бивекторы это площади и объёмы, а двойственные векторы — это обратные длины.

Это всё что я хотел рассказать о преобразованиях нормальных векторов, но ещё несколько вопросов остались в подвешенном состоянии. В конце первой части я задавал вопрос об отрицательных степенях масштаба. Теперь у нас есть минус первая степень, но что насчёт -2 и -3? Чтобы это понять, нам придётся скомбинировать внешнюю алгебру и двойственные пространства, чем мы и займёмся в третьей части.

🌟 Видео

Потенциальное поле. Нахождение потенциала векторного поляСкачать

Потенциальное поле.  Нахождение потенциала векторного поля

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Что такое векторы и матрицы? Душкин объяснитСкачать

Что такое векторы и матрицы? Душкин объяснит

Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать

Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поля
Поделиться или сохранить к себе: