- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
- Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
- Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
- 1. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь и полупериметр треуольника
- 2. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны все три стороны треугольника
- 3. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны две стороны и угол между ними
- 4. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны сторона и прилежащие два угла
- Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник
- Окружность, вписанная в треугольник
- Вычисление с помощью полупериметра
- Вычисление с учётом площади треугольника
- Расчёт с помощью тригонометрических функций
- Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
- Видео
- Видео
Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Радиус вписанной окружности в треугольник
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Видео:Радиус и диаметрСкачать
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор |
Видео:Как найти радиус окружности, вписанной в круговой сектор?Скачать
1. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь и полупериметр треуольника
Пусть известна площадь S треугольника и полупериметр
( small p=frac ) | (1) |
где a, b, c стороны треугольника (Рис.1).
Найдем радиус вписанной в треугольник окружности r.
Из центра O вписанной в треугольник окружности проведем перпендикуляры к сторонам треугольника. Все эти перпендикуляры равны радиусу r вписанной в треугольник окружности (Рис.2).
Прямыми OA, OB, OC разделим треугольник ABC на три треугольника: AOC, COB, AOB. Найдем площадь треугольников AOC, COB, AOB:
( small S_=frac cdot r cdot b ,) ( small S_=frac cdot r cdot c, ) ( small S_=frac cdot r cdot a ) | (2) |
( small S=S_+S_+S_)( small =frac cdot r cdot b ) ( small +frac cdot r cdot c ) ( small +frac cdot r cdot a ) ( small =frac cdot r cdot ( a+b+c) ) | (3) |
( small S=r cdot p. ) | (4) |
Найдем радиус r вписанной в треугольник окружности из равенства (4):
( small r=frac. ) | (5) |
Пример 1. Известны площадь ( small S=17 ) и полупериметр ( small p=10 ) треугольника. Найти радиус вписанной в треугольник окружности.
Решение. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности воспользуемся формулой (5).
Подставим значения ( small S=17 ) и ( small p=10 ) в (5):
Ответ:
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать
2. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны все три стороны треугольника
Пусть известны три стороны треугольника: a, b, c. Найдем радиус вписанной в треугольник окружности (Рис.3).
Площадь треугольника по трем сторонам вычисляется из формулы:
(6) |
где полупериметр p вычисляется из формулы (1).
Подставляя (6) в (5), получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:
( small r=sqrt<frac>, ) | (7) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=15 ,; b=7, ; c=9.) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник найдем сначала полупериметр треугольника из формулы (1):
Подставим значения ( small a,; b, ; c, ; p ) в (7):
Ответ:
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
3. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны две стороны и угол между ними
Пусть известны стороны b и c треугольника и угол A между ними (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Из теоремы косинусов найдем сторону a треугольника:
(8) |
Далее, для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности, воспользуемся формулой (7), где полупериметр p вычисляется из (1).
Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=9 ,; c=7, ; ) и угол меджу ними A=30°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник найдем сначала сторону a треугольника из формулы (8):
Далее найдем p из формулы (1):
Подставим значения ( small a,; b, ; c, ; p ) в (7):
Ответ:
Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
4. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны сторона и прилежащие два угла
Пусть известны сторона a треугольника и прилежащие два угла B и C (Рис.5). Найдем радиус вписанной в треугольник окружности.
(9) |
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем ( small angle A=180°-(angle B+angle C). ) Из формул приведения тригонометрических функций имеем: ( small sin A=sin (180°-( B+ C)) ) ( small =sin (B+C). ) Тогда формулы (9) можно переписать так:
(10) |
Получая значения сторон b, c из (10) и значение p из (1), можно найди радиус вписанной в треугольник окружности из формулы (7). Таким образом, для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности через сторону и прилежащим двум углам применяется формула
(11) |
(12) |
, | (13) |
. | (14) |
Пример 4. Сторона треугольника равена: ( small a=7 ,) а прилежащие два угла равны соответственно ( small angle B=25°, ) ( small angle C=40°, ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Найдем, сначала, стороны b и c из формул (12),(13). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small angle B=25°, ) ( small angle C=40°, ) в (12) и (13):
. |
Далее найдем полупериметр p из формулы (14):
. |
Подставляя значения a, b, c, p в (11), получим:
Ответ:
Видео:найти радиус вписаной окружностиСкачать
Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
- Длин сторон треугольника.
- Его площади.
- Его периметра.
- Величины углов треугольника.
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Вычисление с помощью полупериметра
Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:
- Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
- Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
- В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
- Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Вычисление с учётом площади треугольника
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
- Для начала нужно удвоить величину площади.
- Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
- Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
- Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
- Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
- Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
- Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
- Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать
Видео
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
💥 Видео
Взаимосвязь полупериметра, площади треугольника с радиусом вписанной в него окружности.Скачать
Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать
Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать
КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать
Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать
Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать
Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности.Скачать
Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать