Свойства центра масс треугольника

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Видео:Механика | динамика | центр масс треугольникаСкачать

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

• Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
• Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
• Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian «Finding Centroids the Easy Way».

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Видео:97 Медианы и центр тяжести треугольникаСкачать

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

• Центр масс системы точек — вершин многогранника.
• Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
• Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
• Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Please wait.

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положенияСкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d804a453ef10056 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Центр тяжестиСкачать

Методическая разработка урока «Замечательные точки треугольника (центр тяжести)»

Разделы: Математика

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Программа: «Школа 2000…».

Учебник: «Математика, 6 класс, часть 3».

Авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна.

Цели урока:

1. Дидактическая: ввести понятие замечательной точки треугольника – центра тяжести; способствовать выработке навыков построения центра тяжести.
2. Развивающая: способствовать развитию мыслительной деятельности учащихся, развитию математической речи; умение слушать другого и понимать его речь.
3. Воспитательная: воспитывать аккуратность выполнения заданий, формировать любознательность, пробуждать интерес ко всему, что нас окружает.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная.

Видео:Почему точка пересечения медиан называется центром масс?Скачать

Ход урока

I. Самоопределение к учебной деятельности.

Цели этапа:

1. включить учащихся в учебную деятельность;
2. определить содержательные рамки урока – продолжаем изучать геометрические фигуры.

Геометрические фигуры на плоскости и в пространстве.

Узнали, что такое треугольник, виды треугольников; научились строить биссектрису и медиану треугольника.

Прямоугольные, остроугольные, тупоугольные, равносторонние.

Наверное, нет.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цели этапа:

1. актуализировать учебное содержание необходимое и достаточное для изучения нового материала: работа с треугольником, его элементами;
2. актуализировать мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение.

Деятельность учителя

Предполагаемые ответы учащихся

Посмотрите на рисунок. Какие геометрические фигуры вы видите, назовите их. Вспомните, что такое биссектриса угла? (на доску вывешивается табличка с определением) Как ее можно построить? Сколько биссектрис в треугольнике можно провести? Что такое медиана треугольника? (на доску вывешивается табличка с определением) Как ее можно построить? Сколько медиан в треугольнике можно провести? Я вам предлагаю построить с помощью линейки и транспортира медианы и биссектрисы треугольника. У каждой группы лежат остроугольные, прямоугольные и равносторонние треугольники. С одной стороны треугольника постройте три медианы, а с другой – три биссектрисы (необходимые вычисления выполняйте в тетрадях).

Треугольник АВД. Медиана АЕ. Биссектриса ВК. Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам. С помощью транспортира измерить угол, поделить градусную меру пополам, провести луч. Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. С помощью линейки построить середину стороны и полученную точку соединить с противоположной вершиной треугольника. (каждый учащийся строит медианы и биссектрисы своего треугольника)

III. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности.

Цели этапа:

1. организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
2. согласовать цель и тему урока.

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

Цели этапа:

1. организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
2. зафиксировать новый способ действия.

V. Первичное закрепление.

Цель этапа:

1. зафиксировать изученное учебное содержание.

VI. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели этапа:

1. зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
2. оценить собственную деятельность на уроке;
3. зафиксировать затруднения как направления будущей учебной деятельности;
4. обсудить и записать домашнее задание.

Деятельность учителя

Предполагаемые ответы учащихся

Что нового узнали на уроке? Любой треугольник имеет центр тяжести? Какие трудности испытывали во время выполнения работы? Где в жизни встречали сегодняшнее открытие? А есть еще замечательные точки у треугольника? Об этом мы узнаем на следующих уроках. Оцените свою деятельность на уроке по следующим критериям: зеленая карточка – «Я знаю, что такое центр тяжести и как его построить», красная карточка – «У меня еще не все получается». Запишите домашнее задание: §1, п. 4, стр. 96-98, кто поднял зеленую карточку – № 417; кто поднял красную карточку – № 419 (с разными видами треугольников). Все молодцы. Спасибо за урок. До свидания.

У треугольника есть замечательная точка – центр тяжести. Чтобы его найти, надо построить хотя бы две медианы. С помощью этой точки можно треугольник установить в равновесии на палочке. (выслушать ответы учащихся) (учащиеся называют примеры из жизни) 📸 Видео Метод центра масс. Олимпиадная математика. Be Student SchoolСкачать Найдите центр тяжестиСкачать Три центра массСкачать Галилео. Эксперимент. Центр массСкачать Центр масс (определение и базовые свойства)Скачать Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать Центр массСкачать Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать Урок 80. Определение положения центра масс телаСкачать Центр масс в математике (или механика помогает геометрии)Скачать 3.3. Центр масс и закон его движения | Динамика | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать Видеоурок 3. Определение центра тяжести.Скачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Площадь равнобедренного треугольника Площадь прямоугольного треугольника Плечо силы в треугольнике Плетение треугольника мозаичным плетением Плетение треугольника из лозы Плетение треугольника из веревки Плетение из газетных трубочек треугольник Плетение из бисера треугольник