Что такое многомерный вектор

В разделе векторы — основные определения мы ввели понятие вектора в двумерном пространстве (на плоскости) и в трехмерном пространстве. В этой статье мы отойдем от геометрического толкования вектора и посмотрим на него не как на направленный отрезок, а как на упорядоченный набор чисел с присущими ему свойствами. То есть, мы рассматрим векторы с позиций алгебры, что позволит расширить понятие вектора на случай n -мерного пространства. Итак, мы дадим понятие n -мерного вектора, зададим операции над n -мерными векторами, перечислим свойства этих операций и покажем их применение при решении задач.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором.

Числа называются координатами вектора.

Векторы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a, b, c и т.п., координаты вектора указываются в скобках.

Если записать вектор a как , то имеем вектор-строку; если записать , то имеем вектор-столбец. Это две формы записи одного и того же объекта — n -мерного вектора.

Обратите внимание: при обозначении n -мерных векторов стрелочка сверху над буквой (которая ставится при обозначении вектора на плоскости и в трехмерном пространстве) отсутствует.

Вектор , все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором.

Вектор называется противоположным вектору .

Для n -мерных векторов задаются две операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат, то есть, .

Следует отметить, что складывать можно только векторы количество координат которых совпадает. Операция сложения для векторов, имеющих различное число координат, не определена.

Произведением действительного или комплексного числа и вектора называется вектор, координаты которого равны соответствующим координатам вектора а , умноженным на , то есть, .

Введенные таким образом операции над n -мерными векторами при n=2 и n=3 полностью согласуются с операциями сложения и умножения вектора на число на плоскости и в трехмерном пространстве в геометрическом смысле. Под координатами двумерного или трехмерного вектора в этом случае понимаем координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве соответственно.

Перечислим свойства операций над n -мерными векторами.

Для любых векторов и произвольных действительных или комплексных чисел справедливо:

1. свойство коммутативности сложения векторов a+b=b+a ;
2. свойство ассоциативности векторов (a+b)+c=a+(b+c) ;
3. существует нейтральный вектор по операции сложения, им является нулевой вектор, a+0=a ;
4. для любого вектора существует противоположный вектор, которые в сумме дают нулевой вектор a+(-a)=0 ;
5. Сочетательное свойство умножения .
6. Первое распределительное свойство .
7. Второе распределительное свойство .
8. существует нейтральное число по операции умножения, им является единица .

Эти свойства справедливы в силу свойств операций сложения и умножения действительных или комплексных чисел.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов a и b есть сумма векторов a и -b .

Перечисленные свойства операций позволяют выполнять преобразования в выражениях содержащих векторы по тем же принципам, что и в числовых выражениях.

Рассмотрим несколько примеров.

Даны векторы . Найдите сумму и разность векторов a и b .

Суммой двух векторов является вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат:

Разность векторов a и b есть сумма вектора а и вектора b , предварительного умноженного на минус единицу: . Сначала выполняется умножение вектора на число:

Осталось выполнить сложение:

Даны векторы . Найдите вектор .

Сначала упростим выражение, используя свойства операций над векторами:

Теперь найдем координаты полученного вектора:

Даны векторы . Найдите координаты вектора , выполнив необходимые операции.

При нахождении координат вектора сначала выполним умножение вектора e на число 2 , далее просуммируем соответствующие координаты:

Даны векторы . Выполните указанные действия .

Вектор имеет четыре координаты, а вектор — три, поэтому мы не можем их сложить и, следовательно, не можем выполнить действия над векторами .

Мы не можем выполнить указанные действия с заданными векторами.

Множество всех n -мерных векторов с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число порождают линейное пространство.

Линейное пространство, элементами которого являются векторы, называется векторным или арифметическим.

Мы дали понятие n -мерного вектора, рассмотрели операции над n -мерными векторами, их свойства и увидели, что множество всех n -мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на число порождают векторное пространство.

Видео:Двумерный массив что это. Многомерные массивы. Пример. Теория. Что такое массив. Array. C++ #30Скачать

Красивая математика или как представить 7-ми мерный куб

Однажды от своих родственников я услышал такую фразу: «Люди на МехМате МГУ не могут быть нормальными, ведь они могут представить себе 7-ми мерное пространство!»

И когда я это услышал, мне тоже показалось, что это — что-то нереальное, невозможное. Но вот прошли года, и когда я снова услышал эту фразу, меня повергло в шок — я тоже могу представить 7-ми мерное пространство и не сломаться. Или я уже не из тех, кто может спокойно гулять по улицам?

Ответ, казалось бы, так прост и так несложен, но многие просто не задумывались над этим вопросом, и поэтому это кажется чем-то странным и нереальным.

Так вот, в данной статье я хочу задуматься, ответить и рассказать, что же за простой ответ скрывается под таким странным вопросом: «Что такое 7-ми мерное пространство?»

В данной статье я попытаюсь рассказать свое понимание многомерного пространства, как я представляю его в своей голове. Возможно, что-то может показаться немного нестрогим – так оно и есть, понятное дело, я пропускаю некоторые детали и пытаюсь писать максимально научно-популярным языком. Надеюсь, Вам понравится мое видение многомерного пространства и Вы почувствуете ту же красоту математики, которую я вижу в данной иллюстрации чего-то непонятного.

Я постараюсь описать некоторые детали с самых азов, вкратце, чтобы любой желающий мог бы разобраться в моих словах.

Видео:Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторыСкачать

Оглавление

Выражаю благодарность @AnnRemi за помощь в редактировании и опускании на землю моих амбиций по статье.

Видео:Программирование на С++. Урок 71. Пример работы с вектором. Двумерный вектор.Скачать

Начало начал, или что такое вектор

Вектор: наверняка каждый сталкивался с таким понятием в школе, это не сложно и очень понятно.

Вектором называется направленный отрезок или просто луч, имеющий конкретную длину.

То есть если луч, как и прямая — понятие бесконечное и простирается вправо и влево в бесконечность, то вектор — понятие ограниченное длиной. Обычная стрелочка, нарисованная на бумаге — вектор. Линейкой мы можем измерить длину этой стрелочки, а направление «этой длины» показывает сама стрелка. Важно понимать, что нам не важно, откуда отложен наш вектор, из какой точки. Нужно знать только длину и направление. Обычно мы изображаем наш вектор в осях координат — так удобно находить его параметры.

Вектор AB в осях координат

Для удобства мы отмечаем на оси Х и на оси У проекции наших точек. Теперь, чтобы посчитать длину нашего вектора достаточно воспользоваться Теоремой Пифагора

Направление, или угол наклона относительно оси Х легко посчитать, например, через тангенс, ведь мы знаем длины обоих катетов треугольника

Видео:Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Понятие радиус-вектора

Как мы уже увидели, в векторе нам важны только две вещи: длина и направление, так зачем его рисовать где-то в середине нашей координатной плоскости. Давайте сместим наш вектор к началу оси координат. Тогда нам надо будет хранить только координаты конца вектора — а координаты начала вектора у нас будут нулевыми.

Смещенная ось координат

Так теперь надо будет меньше мучаться — храним в векторе просто координаты его конца.

Такие вектора называются в школе радиус-векторами, но в дальнейшем мы будем все вектора брать радиус-векторами, ведь, как мы помним, все вектора имеющие одно направление и одну длину — одинаковые, один и тот же вектор, так почему бы нам не взять тот, который удобнее всего записывается.

Видео:Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

Трехмерный вектор

Если мы уже разобрались, что такое вектор на плоскости — давайте перейдем к вектору в трехмерном пространстве — в объемном мире.

Достаточно просто представить себе стрелку в объеме — достаточно вспомнить, как Вы что-то измеряли рулеткой. Прислонили конец к шкафу, другой к полу, и померили его диагональ. Ну или не шкаф. каждому свое. Но точно можно сказать, что такое трехмерный вектор.

Но давайте немного формулизируем то, что мы поняли. Представим трехмерные координаты и в них наш радиус-вектор AB.

Трехмерный вектор AB

Понятно, что нам теперь совсем не хватит двух координат для описания вектора AB. Так что давайте добавим третью координату, просто дописав ее в конце.

Хммм. интересно, а по какому признаку мы можем вот так просто приписывать координаты? Может, можно просто так добить вектор до семимерного? Ну в принципе, нас никто остановить не может, и мы именно так и поступим, но сначала немного окунемся в линейную алгебру.

Видео:Двумерный динамический массив c++ пример. Создание, заполнение, удаление. Динамические массивы. #56Скачать

Базис в пространстве

Базис — упорядоченный набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора.

Линейная комбинация – это сумма некоторого набора элементов множества с допустимыми коэффициентами.

Также я собираюсь использовать в дальнейшем удобное следствие определения базиса: мы можем расширять наш базис с помощью векторов, линейно независимых с базисными.

Что значит расширить базис? Добавить еще один вектор, тем самым расширяя наше пространство еще в одном направлении.

Выше мы уже научились строить трехмерное пространство — просто объемный мир, в котором мы живем. Давайте попробуем расширить наш базис. Самым очевидным расширением базиса будет добавление времени, как еще одного параметра. То есть четырехмерное измерение — это объемная жизнь с привязкой ко времени. Ну разве это не похоже на обычную жизнь человека? То есть все это время мы жили в четырехмерном пространстве, а не трехмерном.

И, как не сложно заметить, время линейно независимо от объема, то есть наше расширение базиса вполне корректно.

Видео:#7. Реализация динамического массива на С++ с помощью std::vector | Структуры данныхСкачать

7ми мерное пространство и почему только 7ми?

Как нам представить 5ти мерное пространство? Но мы же уже сказали, что на самом деле пространство — это то, что его задает — базис. То есть давайте теперь мыслить о пространстве, как о наборе параметров каждой его точки. Например для трехмерного объекта мы помним 3 координаты в пространстве — по x, y, z. И у нас это не вызывает диссонанса.

Давайте к координатам припишем еще и время, в которое у нас наблюдалась данное расположение тел. Например, у нас катится шар и мы следим за положением его центра. В момент времени 0 шар покоился. В 0,0. 01 он уже сместился. В момент времени 9. 9,0 он уже находится в совершенно другом месте. Но зачем нам так думать? Пусть эта точка шара существует одновременно везде, где проехался шар, только мы будем помнить, что в каждой точке мы еще приписываем время, когда шар был именно в данной позиции. Вот Вам и 4х мерное пространство — не сложно.

Казалось, так можно навесить еще какие-то параметры, такие как скорость ветра, влажность воздуха, сила трения и так далее, но давайте не будем извращаться и перейдем к более жизненному понятию.

Допустим у нас есть разные гаечки (прошу прощения, если я ошибусь в параметрах или названиях, я совсем не инженер). Для удобной фасовки и продажи гаек надо распределить их на группы одинаковых. Но как мы будем их отличать? Давайте запишем какой-то набор параметров (не претендующий на правильность):

Сплав метала гайки

Внутреннее сечение гайки

Внешняя форма гайки

Направление резьбы гайки

Максимальная нагрузка на гайку

Самозажимающаяся ли гайка?

Максимальная температура, при которой гайка выдерживает достаточную нагрузку

Понятно, что таких параметров может быть сколь угодно много. Но мы остановимся на 7ми — именно столько заявлено в заголовке статьи. Важно помнить! каждый параметр обязан быть независим от любого предыдущего. В нашем случае это условие выполняется: направление резьбы никак не зависит от сплава метала или от внутреннего сечения гайки. И так с каждым из параметров.

То есть только что мы создали свой, очень странный базис, где элементами нашего пространства выступают гайки, и мы их можем удобно расфасовать. Это и есть элементарное представление нашего 7ми и не только 7ми, но и большего, пространства.

Видео:vector | Библиотека стандартных шаблонов (stl) | Уроки | C++ | #1Скачать

Пространство — не куб!

В заголовке статьи я обещал куб, но пока говорил только о пространстве. Давайте определим, что же такое куб.

Например, в 2х мерном пространстве куб, очевидно,- это квадрат. То есть объект с точками вершинами:

В трехмерном пространстве куб — есть куб. С координатами:

Как мы заметили, в двумерном пространстве у куба 4 = 2^2 вершин, в трехмерном 8 = 2^3. Совпадение? Маловероятно. Ну и правильно, ведь из простейшей комбинаторики мы помним, что количество вершин равно 2^n для n-мерного куба. Ведь мы либо берем каждый из базисных n векторов, либо нет.

Тогда для построение 7ми или n-мерного куба нам достаточно взять точки с фиксированными координатами (0 или a) по каждой из осей.

Видео:Массив объектов класса. Динамический. Статический. Создание Особенности. ООП C++ Для начинающих #96Скачать

Интересный факт

Именно из-за удобства понимания и описания n-мерного куба мы меряем любую n-мерную поверхность таким способом. Площадь квартиры с помощью квадратных метров, длину прямой в метрах, объем в кубических метрах. Это все кубы разной размерности. И в математике нам очень удобно оперировать именно такими понятиями. Примерно так мы определяем меру множества, которая очень важна для теории интегралов, теории вероятностей, теории меры и очень много где еще.

Видео:Матрицы и векторыСкачать

Послесловие

Как Вы, наверное, заметили, я привожу совсем иное понимание многомерного куба, в отличие от общепринятого.

Не то, чтобы красивые картинки многомерных кубов не вызывали у меня восхищения – совсем нет, но в этом есть что-то нереальное, непонятное и неприложимое. Я совсем не претендую на прикладное значение сортировки гаек, но мне кажется довольно захватывающим такое представление многомерности: как что-то такое далекое может быть таким емким.

4х мерный куб – Тессеракт

На самом деле я просто не имею настолько развитого пространственного воображения: я не понимаю, как можно визуализировать 4х, 5ти и более мерный куб на 2D картинке.

Также такая иллюстрация не позволяет представить, как увеличить пространство еще в одном направлении. Так что именно данная тема не рассматривается в моей статье, но, если Вас заинтересовал Тессеракт, есть огромная куча других, очень интересных, статей, описывающих его построение и даже расширение.

Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение, свойства

В статьях ранее мы рассматривали понятие вектора как элемента плоскости или пространства, т.е. геометрического объекта, имеющего конкретные очертания. Однако также возможно взглянуть на понятие с алгебраической точки зрения, когда вектор — уже не отрезок с заданным направлением, а упорядоченный комплекс чисел с определенными свойствами.

n -вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.

Записывается в виде строки a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) или столбца a = a 1 a 2 ⋮ a n , где

a i – координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.

Размерность n -вектора – это количество его координат. Например, задан n -мерный вектор b → с координатами (2, -5, 3, 9). Заданный вектор является четырёхмерным.

Равные n -векторы – n -векторы, имеющие одну и ту же размерность, а также равенство одноименных координат.

Нулевой вектор – вектор, у которого все координаты равны нулю: 0 = ( 0 , 0 , . . , 0 )

Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,

a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n )

— a = ( — a 1 , — a 2 , . . . , — a n )

Над n -мерными векторами возможно проведение операций сложения и умножения на число.

Видео:Двумерные массивы вывод. Заполнение. Двумерный массив циклы. C++ для начинающих. #32Скачать

Сложение n-векторов

Результатом сложения двух n -мерных векторов будет вектор, координаты которого являются суммой соответствующих координат заданных векторов.

Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.

Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и a = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) .

Результатом будет вектор a + b = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a n + b n ) .

Операция вычитания отдельно не рассматривается, поскольку по сути разностью векторов a и b является сумма векторов а и – b .

Видео:✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис ТрушинСкачать

Умножение n-вектора на число

Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.

Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и число λ .

Результатом произведения будет:

λ · a = ( λ · a 1 , λ · a 2 , . . . , λ · a n )

Множество всех n -векторов с производимыми действиями умножения на число и сложения составляют линейное пространство.

Видео:М1550. Векторы и многомерный кубСкачать

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.

Видео:#16. Вложенные списки, многомерные списки | Python для начинающихСкачать

Свойства операций над n-мерными векторами

Исходные данные: векторы a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) , c = ( c 1 , c 2 , . . . , c n ) и действительные или комплексные числа λ , μ .

1. Свойство коммутативности: a + b = b + a .
2. Свойство ассоциативности: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) .
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор): a + 0 = a .
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное 1): 1 · а = а

Любой ненулевой вектор а имеет противоположный вектор — а и верным является равенство:

Сочетательное свойство умножения: ( λ · μ ) · a = λ · ( μ · a ) .

Первое распределительное свойство: ( λ + μ ) · a = λ · a + μ · a .

Второе распределительное свойство: λ · ( a + b ) = λ · a + λ · b .

Рассмотри некоторые примеры по теме.

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Необходимо найти сумму и разность векторов.

Решение

Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:

a + b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 + 1 2 , 2 + ( — 1 ) , 7 + ln 5 , 0 + 2 . 3 ) = = ( 3 2 , 2 — 1 , 7 + ln 5 , 2 . 3 )

Разницей исходных векторов будет являться сумма векторов a и b · ( — 1 ) :

a — b = a + ( — 1 ) · b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 ) · ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Выполним умножение вектора на число:

a — b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 ) · ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( ( — 1 ) · 1 2 , ( — 1 ) · ( — 1 ) , ( — 1 ) · ln 5 , ( — 1 ) · 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 2 , 1 , ln 1 5 , — 2 . 3 )

И совершим действие сложения:

a — b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 2 , 1 , ln 1 5 , — 2 . 3 ) = = ( 1 + ( — 1 2 ) , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , 0 + ( — 2 . 3 ) ) = = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , — 2 . 3 )

Ответ:

a + b = ( 3 2 , 2 — 1 , 7 + ln 1 5 , 2 . 3 ) a — b = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , — 2 . 3 )

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Необходимо найти вектор: a — 2 · ( b + 3 · a )

Решение

Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:

a — 2 · ( b + 3 · a ) = a — 2 · b — 6 · a = — 5 · a + ( — 2 ) · b

Определим координаты полученного вектора:

— 5 · a + ( — 2 ) · b = = — 5 · ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 2 ) ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( ( — 5 ) · 1 , ( — 5 ) · 2 , ( — 5 ) · 7 , ( — 5 ) · 0 ) + + ( ( — 2 ) · 1 2 , ( — 2 ) · ( — 1 ) , ( — 2 ) · ln 5 , ( — 2 ) · 2 . 3 ) = = ( — 5 , — 5 2 , — 35 , 0 ) + ( — 1 , 2 , ln 1 25 , — 4 . 6 ) = = ( — 5 + ( — 1 ) , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , 0 + ( — 4 . 6 ) ) = = ( — 6 , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , — 4 . 6 )

Ответ:

a — 2 · ( b + 3 · a ) = ( — 6 , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , — 4 . 6 )

Исходные данные: векторы с = 1 2 — 3 , d = 0 0 3 , e = — 1 — 1 1

Необходимо определить координаты вектора: c + d + 2 e

Решение

Выполним операцию умножения вектора е на число 2, а затем найдем сумму:

c + d + 2 · e = 1 2 — 3 + 0 0 3 + 2 · — 1 — 1 1 = = 1 2 — 3 + 0 0 3 + 2 · ( — 1 ) 2 · ( — 1 ) 2 · 1 = = 1 2 — 3 + 0 0 3 + — 2 — 2 2 = = 1 + 0 + ( — 2 ) 2 + 0 + ( — 2 ) — 3 + 3 + 2 = — 1 0 2

Ответ: c + d + 2 · e = — 1 0 2

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) , f = ( 4 , 11 , 21 )

Необходимо найти вектор: 3 · a + 2 · b — 7 · ( a + f )

Решение

Исходные векторы имеют разную размерность ( а и f ), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.

Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.

📺 Видео

Теория вероятностей 14. Гауссовские векторы, многомерные ЦПТ и ЗБЧСкачать

С++ 5. Передача одномерных и двумерных массивов в функциюСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Занятие 12. Векторы и матрицыСкачать