Четырехугольник клмн со сторонами кл 6 и мн 18 вписан в окружность

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿DC, значит и хорды равны DC = AM = 10.
∠ABK = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:

∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°

По теореме косинусов найдём MB:

MB 2 = AM 2 + AB 2 – 2·AM·AB·cos 120°

Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:

Ответ: .

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL=8, MN=4, периметр треугольника MNF

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Ваш ответ

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

решение вопроса

Видео:Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,739
• разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Проверочная работа «16 задание ПРОФИЛЬ ЕГЭ математика»

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ПРОФИЛЬ ЕГЭ математика

1. Окружность, вписанная в ромб ABCD , касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P.

а) Докажите, что

б) Найдите угол если DM = 4 и MC = 9.

2. Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.

а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.

б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.

3. В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC соответственно равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD.

а) Докажите, что BN : DM = 3 : 4.

б) Найдите длину отрезка CN, если известно, что BM : DN = 2 : 3.

4. Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.

а) Докажите, что

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKB , если а площадь треугольника AKC равна

5. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а

6. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

7. На окружности с центром O и диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным

а) Докажите, что KF : FE = 125 : 29.

б) Найдите площадь треугольника KEN.

8. Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.

а) Докажите, что ∠ ABM = ∠ DBC = ∠ MBD .

б) Найдите расстояние от точки О, точки пересечения диагоналей, до отрезка СМ, если BC = 42.

9. Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.

а) Докажите, что AE параллельно BD.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

10. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

ПРОФИЛЬ ЕГЭ математика

1. Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если

2. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O₁ и O₂ соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что прямые AO₁ и CO₂ перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника MO₁NO₂, если AC = 20 и BC = 15.

3. В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника AOM, если и

4. Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен

5. Окружность с центром О₁ касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O₂ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.

а) Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основаниям трапеции АВСD.

6. Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.

а) Докажите, что треугольники и ABC подобны.

б) Найдите BN, если

7. На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM = BN = Точка P — середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырехугольник BCPM — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если и

8. Две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая MK пересекающая обе окружности в точках M и K, причем точка A находится между ними.

а) Докажите, что треугольники BMK и O₁AO₂ подобны.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если O₁O₂ = 5, MK = 7.

9. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.

10. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.

а) Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2.

ПРОФИЛЬ ЕГЭ математика

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

2. В треугольнике MPK биссектриса угла K пересекает сторону MP в точке A. Окружность, описанная около треугольника AMK пересекает сторону PK в точке B.

а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABM, если MK = 9, PK = 6, MP = 5.

3. К окружности с диаметром AB = 10 проведена касательная BC так что Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника FBE.

4. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

5. Дана окружность с центром в точке O и радиусом 5. Точка K делит диаметр AD в отношении 1 : 9, считая от точки D. Через точку K проведена хорда BC перпендикулярно диаметру AD. На меньшей дуге AB окружности взята точка M.

а) Докажите, что BM · CM 2 .

б) Найдите площадь четырёхугольника ACBM, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM равна 24.

6. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠ BAD = 75° и BC = 1.

7. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

8. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH.

а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах равно

б) Пусть точка O₁ — центр окружности диаметра AH, вторично пересекающей отрезок AC в точке P, а точка O₂ — центр окружности с диаметром BH, вторично пересекающей отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника O₁PQO₂, если

9. Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.

а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.

10. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.

ПРОФИЛЬ ЕГЭ математика

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если

2. Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если

3. Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что

a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.

б) Найдите CN, если BC = 2, AC = 4, CM = 1.

4. Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен

5. Дана трапеция с диагоналями равными 6 и 8. Сумма оснований равна 10.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходит через через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б) Известно, что sinAOC = Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.

7. Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C₁ и B₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.

б) Найдите радиус данной окружности, если ∠ A = 45°, B₁C₁ = 6 и площадь треугольника AB₁C₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁.

8. В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.

9. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CMDK.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 30 и 40.

10. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС.

б) Пусть AM = 3, CM = 2, Q — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т — такая точка на отрезке РQ, что Найдите QT.

🎬 Видео

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

#166. КАК НАЧАТЬ ПОНИМАТЬ СТЕРЕОМЕТРИЮ?Скачать

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Задача 6 №27927 ЕГЭ по математике. Урок 142Скачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 классСкачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать