Четырехугольник авсд параллельная проекция прямоугольника построить проекции перпендикуляров

Видео:Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

«Изображение пространственных фигур на плоскости»

Четырехугольник ABCD – параллельная проекция ромба.

Построить проекцию перпендикуляра, проведенного из точки M к диагонали BD .

Δ АВС – параллельная проекция равностороннего треугольника.

Построить проекции прямых, перпендикулярных сторонам треугольника, проходящих через точки P и K .

Четырехугольник ABCD – параллельная проекция равнобокой трапеции.

Построить проекцию высоты трапеции, проведенной из вершины В .

Построить проекцию биссектрисы А .

Дана параллельная проекция окружности. АВ – проекция ее диаметра.

Построить проекцию диаметра, перпендикулярного АВ .

Дана параллельная проекция окружности.

Построить проекцию центра окружности.

Видео:Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 340 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Данная практическая работа представляет собой систему упражнений направленных на развитие графической культуры и формированию общепрактических навыков и умений у учащихся 10 -11 классов на уроках геометрии, элективных занятиях, лекциях и семинарах. Результаты исследования могут быть использованы учителями школ и методистами.

• Голованова Елена ПавловнаНаписать 3547 06.05.2018

Номер материала: ДБ-1556078

05.05.2018 588

05.05.2018 149

25.04.2018 299

24.04.2018 145

20.04.2018 1554

16.04.2018 948

16.04.2018 684

11.04.2018 83

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Изображение многогранников в параллельной проекции

1. Лемма. Пусть четырехугольники A_XBCD и ABCD, лежащие соответственно в плоскостях с?! и а, аффинно-эквивалентны [1] . Тогда существует такая плоскость сто, что проекция четырехугольника ABCD на эту плоскость по направлению вектора, ортогонального к плоскости ст_ь подобна четырехугольнику ABCD.

и По условию леммы существует аффинное отображение/: ст -» ст_ь которое четырехугольник ABCD переводит в четырехугольнику!B_XC_XD_X. Рассмотрим некоторую окружность у плоскости ст и ее образ y_t =/(у). Если yi — окружность, то/— подобие (предлагаем читателю обосновать это утверждение самостоятельно). Следовательно, ABCD

A_XB_XCD и лемма очевидна, так как в этом случае за плоскость ст₀ можно взять саму плоскость сть

Рассмотрим случай, когда уj — эллипс с неравными полуосями О_хЕ_х, 0Fi, где 0Ei > O_xF_x (рис. 74). Обозначим через О, Е и Епрообразы то-

Проведем отрезок F_XF₀, перпендикулярный к плоскости а_ь так, чтобы O_xF₀ = О_хЕ_х, и обозначим через а₀ плоскость O_xE_xF₀. Рассмотрим параллельное проектирование fo : а_х —> ао по направлению вектора F_XF₀. Отображение/₀/: g_x —> а₀ является аффинным и переводит репер (О, Е, Е) в репер (О_х, Е_х, То). Так как OEF и O_xE_xFo — прямоугольные равнобедренные треугольники, то они подобны, поэтому fof: а —» о₀ — подобие. Таким образом, проекция четырехугольника A_XB_XC_XD_X на плоскость ст₀ по направлению вектора Е_<Е₀ (т.е. четырехугольник AqBqCqDq на рис. 74) подобна четырехугольнику ABCD. и Теперь докажем следующую основную теорему.

Теорема (Польке — Шварца). Вершины любого четырехугольника ЛВСD плоскости а, заданные в определенном порядке, могут служить изображением аффинного репера, равного данному реперу R* — (А*, В*, С*, D*).

я На прямых А*С* и B*D* возьмем точки М* и N* так, чтобы (А*С*, М*) = (АС, Е) и (B*D*, N*) = (BD, Е). Здесь Е — точка пересечения прямых АС и BD (рис. 75). Проведем какую-нибудь плоскость а_х, перпендикулярную к прямой M*N*, и рассмотрим ортогональную проекцию А1B_XC_XD_X репера R* на эту плоскость. Точки М* и N* проектируются в одну и ту же точку Е_х (см. рис. 75). Так как (А_ХС_Х, Е_х) = (А*С*, М*) = (АС, Е)

и (BD, Е) = (B*D*, N*) = (BD, Е), то четырехугольники ABCD и ABCD аффинно-эквивалентны (§ 26, теорема 2).

По предыдущей лемме существует такая плоскость а₀, что проекция AoBoCqDo четырехугольника ABCD на эту плоскость по направлению вектора M*N* подобна четырехугольнику ABCD. Заметим, что точки А*, А_ь А₀ лежат на одной прямой, перпендикулярной к плоскости а_ь поэтому точка А₀ — параллельная проекция точки А* на плоскость а₀ по направлению вектора М* N*. Аналогично точки В₀, С₀ и D₀ являются параллельными проекциями точек В*, С* и D* на эту же плоскость, т.е. четырехугольник A₀B₀C₀D₀ — параллельная проекция репера R* на плоскость ст₀.

Рассмотрим какое-нибудь движение трехмерного пространства, в котором плоскость о₀ переходит в плоскость а. Обозначим через R =

= <а, В, С, ?)) образ репера R*, а через A^BqCqDq образ четырехугольника A₀B₀C₀D₀ в этом движении. Мы видим, что проекция AqBqCqDq репера R на плоскость а подобна данному четырехугольнику ABCD, т.е. ABCD — изображение репера R, равного данному реперу R*. я

2. Рассмотрим теперь на плоскости а изображения некоторых многогранников, изучаемых в средней школе. Мы предполагаем, что ни одна из плоскостей граней многогранника не параллельна направлению проектирования.

В теории изображений мы учитываем, что многогранник полностью определяется своей поверхностью, составленной из многоугольников (грани многогранника). Эта поверхность ограничивает многогранник как геометрическое тело. Под изображением многогранника будем понимать фигуру, состоящую из изображений всех его граней (или, что, по существу, то же самое, всех его ребер). Для большей наглядности невидимые ребра многогранника изображают пунктирными линиями:

а) тетраэдр. Пусть А В С D — тетраэдр-оригинал. Ао, Во, Со, Do — проекции его вершин, а А, В, С и D — изображения его вершин (рис. 76). Тогда фигура, состоящая из треугольников ABC, ABD, ACD и BCD, и будет изображением этого тетраэдра. Другими словами, изображением тетраэдра А В С D является фигура, состоящая из всех сторон и диагоналей четырехугольника ABCD.

Из теоремы Польке — Шварца следует важный вывод: вершины произвольного четырехугольника плоскости а могут служить изображением вершин тетраэдра, равного данному тетраэдру. Поэтому если задан тетраэдр, то для его изображения достаточно начертить на плоскости а произвольный четырехугольник и провести его диагонали. На рисунке 77 изображено несколько тетраэдров. Для большей наглядности невидимые линии изображены пунктиром. Заметим, что на этом рисунке четырехугольник ABCD выпуклый, а четырехугольники MNPQ и EFGH невыпуклые;

б) параллелепипед. Изображением параллелепипеда (в том числе прямоугольного параллелепипеда, куба) является фигура, состоящая из трех пар параллелограммов, причем в каждой паре один получается из другого параллельным переносом (рис. 78).

Для того чтобы построить изображение данного параллелепипеда ABC DA’ В’ С D’, следует учесть, что, например, точки А, В, D и А’ являются вершинами тетраэдра (рис. 79, а), поэтому по теореме Польке — Шварца в качестве их изображений можно выбрать вершины произвольного четырехугольника ABDA’ плоскости а. Изображения же остальных вершин получаются построением с учетом того, что изображениями граней параллелепипеда являются параллелограммы (рис. 79, б)

в) призма. Изображением я-угольной призмы на плоскости а является фигура, состоящая из двух равных я-угольников (один получается из другого параллельным переносом), изображающих основания призмы, и я параллелограммов, для каждого из которых противоположными сторонами являются изображения параллельных сторон оснований (рис. 80).

Построение изображения данной призмы выполняется аналогично построению изображения параллелепипеда. Основания призмы изображаются на чертеже с учетом правил изображений плоских многоугольников;

г) пирамида. Изображением пирамиды является фигура, состоящая из многоугольника, изображающего основание пирамиды-оригинала, и нескольких треугольников с общей вершиной, изображающих боковые грани пирамиды (рис. 81).

Для построения изображения данной пирамиды следует учесть, что по теореме Польке — Шварца за изображение вершины пирамиды и трех вершин основания можно взять вершины произвольного четырехугольника плоскости а. Тогда изображения остальных вершин основания и всех ребер получаются построением с учетом правил изображений плоских многоугольников. Например, на рисунке 82 изображена четырехугольная пирамида, основанием которой является прямоугольник. Точки S, А, В и D являются вершинами произвольного четырехугольника, а точка С построена так, чтобы ABCD был параллелограммом.

Замечание. Иногда на практике приходится строить более сложные многогранники. Для построения такого многогранника аналогично предыдущему за изображение четырех вершин (трех вершин, принадлежащих одной грани, и еще одной вершины смежной грани) принимают вершины произвольного четырехугольника плоскости а,

тогда изображения остальных вершин и всех ребер получаются по построению. Например, на рисунке 83 дано изображение более сложного многогранника.

Видео:Параллельное проектирование и его свойства Изображение пространственных фигурСкачать

Интегрированный урок (геометрия + черчение) по теме «Изображение пространственных фигур на плоскости». 10-й класс

Класс: 10

План урока

Цели урока

1. Образовательные цели: изучение понятия «параллельное проецирование» и его свойств, формирование навыков построения изображений плоских и пространственных фигур на плоскости с помощью аксонометрической проекции, развитие умений сравнивать явления
2. Развивающие цели:развитие абстрактного мышления, пространственного воображения и интуиции, развитие познавательного интереса и интереса к поисково-исследовательской деятельности.
3. Воспитательные цели:развитие навыков коллективной работы, создание атмосферы доброжелательности на уроке.

Оборудование: компьютер, учебный диск, интерактивная доска, проектор, модели плоских геометрических фигур.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель математики: Сегодня у нас с Вами необычный урок. Сегодня на нашем уроке встретятся геометрия и черчение. Тема нашего урока «Изображение пространственных фигур на плоскости».

2. Актуализация знаний учащихся с помощью дидактической игры «Верно – неверно». Этап сопровождается показом слайдовой презентации (приложение 1).

Учитель математики: Чтобы работа на уроке была плодотворной, давайте вспомним некоторые факты, характеризующие свойства параллельных прямых и плоскостей. Ваша задача определить верность следующих высказываний. Итак, начинаем.

1. Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых параллельных данной прямой?

По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой через точку пространства можно провести единственную прямую.

2. Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая тоже пересекает эту плоскость?

По лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми, если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3. Верно ли, что две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?

В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые.

4. Верно ли, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

Эти прямые могут быть не только параллельными, но и пересекаться, а также они
могут быть скрещивающимися.

3. Определение целей урока с помощью учащихся проводит учитель черчения.

Вы заметили, что дать точный ответ нам помогли чертежи. Надеюсь, что никто из Вас не станет отрицать того, что «хороший» чертёж всегда поможет нам в решении геометрических задач, но в то же время все построения на уроках черчения Вы выполняете на основе математических законов. Главной задачей нашего сегодняшнего урока будет понять, что требуется знать, чтобы наши чертежи всегда были правильными и «хорошими».

4. Историческая справка о проективной геометрии, параллельном проецировании.

Учитель черчения: Параллельная проекция всем хорошо знакома. Солнце находится от нас так далеко, что его лучи в любой момент времени можно считать практически параллельными. Поэтому тень от любого предмета на дороге или стене дома представляет собой проекцию этого предмета на плоскость дороги или стены параллельно лучам солнца (рис.1).

Учитель черчения: с помощью презентации рассказывает о параллельной проекции (косоугольной и прямоугольной), о создателе начертательной геометрии Гаспаре Монже (1746-1818) (рис.2) и Ж.Дезарге (1593-1662).

5. Поисково-исследовательская деятельность учащихся.

На этом этапе необходимо выяснить свойства параллельной проекции.

Учителя предлагают поиграть в театр теней.

— Как во всяком театре у нас должны быть актёры. Сегодня все роли Ваши.

(Распределяются роли, раздаются эскизы фигур – «героев» действия: точка, прямая, отрезок, треугольник, параллелограмм, круг, и.т.д.)

Жили-были на свете геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, углы, треугольники, параллелограммы, трапеции и окружности. Они были очень дружными фигурами и всегда помогали друг другу. Однаждыв город привезли новое развлечение – ЗЕРКАЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ. И все жители городка отправились в него посмотреться. Первой пришла Точка.

— Что Вы, уважаемая Точка, увидели в зеркало?

(Ученица рассказывает, что получается при проекции точки на плоскость).

Следом за ней прибежала красавица Прямая.

— А что Вы увидели, дорогая Прямая?

(Ученица рассказывает, что получается при проекции прямой на плоскость).

Очень заинтересовался зеркалом весёлый Отрезок.

— Что же интересного мог увидеть наш приятель?

Он увидел отрезок, но совсем другой длины, которая менялась в зависимости от того как он поворачивался. (Желательно, чтобы ученик самостоятельно сделал этот вывод).

А уж когда к нему присоединился его братишка — второй Отрезок, так веселью не было конца. Повертелись они в своё удовольствие. И пересекались, и становились параллельными. И всё это изобразилось в проекционном зеркале.

— Что интересного Вы увидели?

(Учитель выясняет различные случаи изображения двух отрезков).

Но тут пришёл Знайка, которому тоже было очень интересно посмотреть на это зеркало. Он тут же попросил братьев Отрезков помочь ему провести маленький эксперимент. Знайка разделил отрезок в отношении 2:1 и проверил, изменится ли это соотношение в зеркале.

— Уважаемый, Знайка, что же Вы увидели?

(Делается вывод о сохранении отношений длин отрезков).

Слава о зеркале быстро разнеслась по всему городку. Неспеша, подошел к этому чуду дядюшка Угол. И очень обиделся.

— Что Вас так обидело, уважаемый дядюшка Угол?

(Делается вывод о несохранении градусных мер углов).

Следом за ним прибежали Треугольник, Параллелограмм, Прямоугольник, Окружность и Трапеция.

— Что же Вы все увидели в этом чудо – зеркале?

(С каждой геометрическ5ой фигурой выясняется, что представляют их проекции).

Долго не смолкало веселье в маленьком городке геометрических фигур, а мы с Вами давайте подведём итоги.

Так какие же свойства фигур сохраняются при параллельном проецировании?

А какие не сохраняются? (Итоги подводятся с помощью презентации).

При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства фигур

1. Свойство фигуры быть точкой, прямой и плоскостью.
2. Свойство фигур иметь пересечение.
3. Деление отрезка в данном отношении.
4. Параллельность прямых и плоскостей.
5. Свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией.
6. Отношение длин параллельных отрезков.
7. Отношение площадей двух фигур.

При параллельном проецировании не сохраняются следующие свойства фигур:

1. Свойство прямых и плоскостей образовывать между собой углы определенной градусной меры (в частности быть взаимно перпендикулярными).
2. Отношение длин не параллельных отрезков.
3. Отношение величин углов между прямыми (в частности, свойство луча быть биссектрисой угла).

Текст свойств высвечивается на интерактивной доске по мере их выявления. У учащихся на столах лежат памятки с перечислением этих свойств.

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой есть прямая (рис.3).
3. Проекция отрезка есть отрезок (рис.4).
4. Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой (рис.5).
5. Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам (рис.6).

Учитель математики: Теперь выясним как изображаются фигуры в аксонометрической проекции. По рисунку 7 попробуйте сформулировать алгоритм построения произвольной плоской фигуры с помощью параллельного проектирования.

А теперь поговорим об изображении определённых плоских фигур.

Произвольный отрезок на чертеже можно считать изображением данного отрезка.

В качестве изображения данного треугольника на чертеже можно брать произвольный треугольник (рис.8).

Изображением равнобедренного и прямоугольного треугольников может служить разносторонний треугольник (рис.9).

Изображением данного параллелограмма можно считать произвольный параллелограмм (рис.10).

В частности изображением прямоугольника, ромба и квадрата будет параллелограмм.

Изображение трапеции
Изображением трапеции является трапеция, у которой основания пропорциональны основаниям самой трапеции (рис. 11).

Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.

Параллельной проекцией окружности является эллипс (рис.12).

Эллипс используют при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усечённых конусов и сфер.

6. Практическое применение теоретических знаний. Решение задач

Учитель математики: Следующим шагом в нашей работе будет этап решения задач, лежащих в основе правильного изображения пространственных фигур в параллельной проекции. (Для решения задач используются возможности интерактивной доски. Текст всех задач лежит на столах учащихся).

Задача 1. Треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A₁B₁C₁. В треугольнике A₁B₁C₁ проведены из вершины A₁ биссектриса, медиана и высота. Будут ли проекции этих отрезков соответственно биссектрисой, медианой и высотой?

Задача 2. Построить изображение правильного треугольника и изображение высоты и биссектрисы угла А (решение на рис.13 и рис.14).

Задача 3. Треугольник ABC – параллельная проекция правильного треугольника. Построить проекцию серединного перпендикуляра к стороне АС. Построить проекцию перпендикуляра, проведенного из вершины С к стороне АС.

Задача 4. Трапеция ABCD – параллельная проекция равнобедренной трапеции. Построить ось симметрии и высоту данной трапеции (решение на рис.15 и рис.16).

Задача 5. Дана параллельная проекция ромба. Построить параллельную проекцию прямых, проведённых через середину стороны перпендикулярно диагоналям (решение на рис.17 и рис.18).

Задача 6. Начертите параллельную проекцию ромба, имеющего угол в 60°. Постройте изображение высоты этого ромба, проведенной: а) из вершины острого угла; б) из вершины тупого угла.

7. Заключительный этап урока. Выводы. Подведение итогов

Фронтальная беседа с учащимися.

1. Что называется параллельной проекцией точки, отрезка, треугольника, окружности?
2. Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков).
3. Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

8. Задание на дом

1. Построить с помощью параллельной проекции: а) изображение правильного шестиугольника; б) изображение правильного восьмиугольника.
2. Дан произвольный треугольник. Считая его изображением прямоугольного треугольника, начертить изображение квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

📺 Видео

Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигурыСкачать

Параллельная проекцияСкачать

тема 8 3 Параллельное проектирование и его свойстваСкачать

Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

начертательная геометрия. Построение проекций плоской фигуры(квадрат).Скачать

Построение призмы высотой 30ммСкачать

Как строить сеченияСкачать

Построение натуральной величины треугольника методом вращенияСкачать

Параллельное проектирование и его свойстваСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

Строим проекции равнобедренной трапеции и определяем углы наклона ее высоты и плоскости к П1 и П2Скачать