Икосаэдр из 20 треугольников

Фигуры, которые делают из бумаги, могут быть разными. Однако чаще всего предпочтение отдают геометрическим фигурам. Одна из таких – икосаэдр (развертка для склеивания), которую одновременно можно назвать и сложной, и простой. Сложной, потому что имеет много граней – 20 шт., при этом ребер у нее еще больше – 30 шт. Простой, потому что полностью симметрична относительно своего центра.

Видео:Икосаэдр из бумаги. Чертёж развертки икосаэдра.Скачать

Описание фигуры

Икосаэдр (развертка для склеивания приведена ниже в статье) – фигура, которая получила свое название около 100 лет назад. Оно происходит от древнегреческого числительного «икоси», что переводится как «20». Другая часть названия – производное от слова «хедра», что означает «грань». Получается, что с греческого название можно перевести как «20-гранник».

Чтобы объемное геометрическое тело называлось правильным икосаэдром, оно должно соответствовать следующим условиям:

• у него должно быть ровно 20 граней (не больше и не меньше);
• каждая из этих граней должна представлять собой правильный треугольник. Правильным в геометрии называется треугольник, у которого все углы равны. Каждый угол этого треугольника имеет величину – 60 градусов.

Икосаэдр относится к правильным многогранникам и входит в пятерку, так называемых, «Платоновых» тел.

Другие его характеристики следующие:

• число сторон у каждой из 20 граней – 3;
• число вершин (точек соединения сторон граней) – 12;
• число ребер (сторон граней), сходящихся в каждой вершине (точке) – 5;
• общее число ребер – 30;
• число осей симметрии -15;
• число плоскостей симметрии – 15.

Однако все эти характеристики вытекают из 2-х основных названных выше. Если у фигуры 20 граней и если каждая такая грань является правильным треугольником, то это уже будет настоящий правильный икосаэдр со всеми его свойствами.

Икосаэдр (развертка для склеивания не сложная даже для новичков) – фигура, площадь которой определить просто, даже несмотря на большое количество граней. Кроме того, ее можно представить в виде площади развертки. Если будет известна площадь 1-го из 20-ти треугольников, которые являются гранями фигуры, то достаточно будет это число умножить на 20.

Например, если площадь каждого треугольника составляет 4 кв. см, то суммарная площадь всех поверхностей икосаэдра будет равна 80 кв. м. Для этого 4 нужно умножить на 20.

Видео:Правильный икосаэдр или кубик D20. Fusion 360, без формул.Скачать

Основные виды

Икосаэдр, который можно изготовить из бумаги, может быть разным.

Например, если:

• применять в работе бумагу только одного цвета, то фигура получится одноцветной;
• это будет цветная бумага, можно сделать многоцветный икосаэдр, который будет играть разными красками и выглядеть более красиво.

Нередко изготавливают икосаэдр, внешне по расцветке похожий на футбольный мяч, когда белые треугольники чередуются с черными. В действительности это будет, не мяч, поскольку он далек от круглой формы. Более сложный в исполнении – икосаэдр, имеющий форму звезды. Здесь уже имеются грани, которые выступают вперед на фоне других.

Самым же красивым является икосаэдр, украшенный различными декоративными элементами. Это могут быть любые украшения: что-нибудь блестящее, яркое – то, что легко можно прикрепить к поверхности бумаги. Такой икосаэдр можно использовать в качестве новогодней игрушки и вешать на елку.

В геометрии существует бесчисленное количество икосаэдров. Часть из них имеют больше симметрий, а другие, наоборот, являются менее симметричными. Наибольшую распространенность имеет правильный икосаэдр – тот, где ровно 20 одинаковых граней. Правильным икосаэдром в математике может называться как выпуклое, так и невыпуклое тело.

В любом случае у каждого из них по 20 граней и в 1,5 раза больше ребер. У обоих так называемая иксосаэдральная симметрия. Однако зачастую правильным икосаэдром называют его выпуклую разновидность, тогда как невыпуклая форма попадает в категорию больших икосаэдров.

Икосаэдр (развертка для склеивания) может быть представлен следующими вариантами:

Видео:Икосаэдр из треугольниковСкачать

Как сделать правильный икосаэдр из бумаги?

Развертка для склеивания Икосаэдр для изготовления потребует подготовки следующих материалов и инструментов:

• бумагу. Она может быть гофрированной, белой, цветной. Плотность ее также может быть разной;
• ножницы. Требуются для вырезания фигур нужных размеров и форм;
• клей. Лучше всего подходит обычный ПВА, ведь на его высыхание уходит много времени, которого достаточно, чтобы устранить возможные ошибки;
• линейку. Без нее ровно согнуть бумагу строго по линии сгиба будет очень сложно.

Также можно использовать дополнительные материалы для украшения своей бумажной поделки. Это дело вкуса и фантазии.

После подготовки всех материалов и инструментов можно приступать непосредственно к творческому процессу.

Работа проходит в следующие этапы:

1. Распечатать на принтере готовый шаблон и перенести его на подготовленный материал. При переносе нужно соблюдать осторожность. В противном случае разметка будет неправильной, а значит, фигура в целом получится неровной или вовсе ничего получится. Настоятельно рекомендуется пользоваться линейкой.
2. Начать вырезать шаблон. Ножницы должны проходить строго вдоль пунктиров. Иначе не получится воедино склеить все элементы фигуры. При этом не следует торопиться, ведь шаблон при неосторожном движении очень легко повредить. Важно, чтобы все треугольные элементы шаблона имели равные стороны. Это одно из основных свойств икосаэдра. Оно такое же важное и обязательное, как и условие, что все стороны одного и того же квадрата всегда равны. При нарушении этого правила разница сторон будет сильно заметна.
3. После вырезания заготовки приступать к сгибанию фигуры. Здесь обязательно потребуется линейка. Места сгибов будут показаны сплошными линиями, а проклейку нужно выполнять уже по пунктирным линиям. Основная цель – правильное соединение всех граней треугольных элементов фигуры. Если по какой-то причине под рукой не оказалось, клея ПВА, а вместо него попалось быстросохнущее клеящее вещество, то следует помнить о том, что права на ошибку нет. Если соединить детали неправильно, а клей высохнет за считанные секунды, то разделить элементы уже не удастся. Если же работать с клеем ПВА, необходимо будет сильно надавливать на каждый стык. После нанесения клея держать детали прижатыми друг к другу следует примерно 20 сек.
4. Декорировать готовое изделие. Для этого можно использовать краски, фломастеры, карандаши, пастель. Можно также прицепить к готовой фигуре нитку, чтобы иметь возможность подвешивать ее. Нередко такую бумажную поделку применяют в качестве игрушки для елки на Новый год.

Икосаэдр развертка для склеивания

Использование икосаэдра может быть разным. Он может выполнять не только эстетическую, но и практическую функцию.

Многоцветный икосаэдр

Икосаэдр (развертка для склеивания может быть цветной) многоцветный может стать хорошим наглядным пособием при изучении с самыми маленькими детьми цветовых оттенков.

Для работы над созданием разноцветного икосаэдра потребуются следующие материалы и инструменты:

• готовый шаблон (можно легко найти в Интернете);
• цветная бумага (если ее нет, можно белую бумагу раскрасить фломастерами, красками или карандашами, что детям будет интересно и занимательно);
• клей (рекомендуется использовать долго сохнущий ПВА);
• ножницы.

Когда все будет подготовлено, можно приступать непосредственно к процессу создания, который заключен в следующие этапы:

1. Сделать заготовку по трафарету. Что касается количества разных цветов, оно может быть любым на усмотрение того, кто занимается изготовлением поделки. Однако чем больше будет разных ярких цветов, тем больше такое изделие понравится ребенку. Можно взять, например, основные цвета радуги. Можно добавить еще несколько цветов или, наоборот, убрать те, которые кажутся лишними (например необязательно, чтобы в одной фигуре были и голубой, и синий).
2. Соединить все элементы, используя для этого долго высыхающий клей ПВА.

Звездчатый икосаэдр

Звездчатый икосаэдр – один из самых сложных в изготовлении. Однако вся сложность заключается в том, что нужно иметь много терпения. Работа потребует много времени.

Помимо терпения, необходимы:

Можно подготовить некоторые декоративные элементы для украшения готового изделия. Это могут быть любые объекты, которые покажутся красивыми: цветные нити, ленты, клеящиеся бусины.

Когда все необходимое будет подготовлено, можно переходить непосредственно к творческому процессу, который заключен в следующие этапы:

1. Вырезать из бумажного полотна 30 квадратов со сторонами по 5 см каждый. Каждый такой квадрат должен иметь площадь – 25 кв. см. При этом следует использовать бумагу 3-х цветов. Это могут быть любые тона, например, зеленый, синий и красный. В итоге должно быть по 10 квадратов каждого цвета.
2. Когда необходимое количество квадратов будет вырезано, можно брать один из них и складывать пополам. Затем каждую половинку нужно пригнуть к середине, распрямить и загнуть 2 раза противоположные углы.
3. Сделать так, чтобы бумажный листок стал похож на классическую птичку-галочку, которую часто делают из бумаги. Для этого большой угол завернуть с нижней стороны.
4. Взяться за другую сторону квадрата. Его следует перевернуть, затем – завернуть верхнюю часть так, чтобы получился конверт. При этом его острый угол нужно ввести внутрь изделия.

1. Продолжить работу с первым квадратом. Теперь, когда он превратился в конверт, необходимо перегнуть его вдвое и свернуть топорщащиеся ушки, направив их к внешним углам треугольников. Далее, после распрямления образуется сборочный узел.
2. Выполнить самую длительную часть работы: все 5 этапов, которые были описаны выше, следует повторить с каждым из 29 оставшихся квадратов. Здесь потребуется много терпения. Возможно, за один раз не получится сделать все 30 нужных моделей. Рекомендуется делать перерывы в этом творческом процессе.
3. Когда все 30 деталей будут готовы, можно брать одну из них и ее кончик просовывать в кармашек другой (обязательно другого цвета). Соответственно, уголок этого элемента должен входить в кармашек третьей детали, отличающейся по цвету от 2-х других. Уголок же 3-й детали должен входить в кармашек 4-й детали, которая будет того же цвета, что и 1-я деталь. Таким образом, цвета будут чередоваться.
4. Во 2-ю деталь вставить кончик 3-й детали. В него вставляется 1-я деталь, а кончик 2-й при этом убирается в кармашек первого звена.
5. В 3-й пазл вставить 2-й, в него – 1-й, а замыкается все 3-им.
6. Собрать все элементы по схеме, которая приведена выше. Как только последний элемент окажется на своем месте, можно считать долгую и кропотливую работу по изготовлению звездчатого икосаэдра законченной.

Декоративный икосаэдр

20-гранное геометрическое тело, сделанное из бумаги в технике кусудама, будет великолепно смотреться на праздничной ели в канун Нового года. Чтобы сделать декоративный икосаэдр, необходимо вырезать из бумаги 30 квадратов. Лучше всего, если это будет светло-желтый цвет.

Подготовив нужное количество бумажных квадратов, можно начинать творческий процесс:

1. Взять 1 из квадратов (они все одинаковы, поэтому можно брать любой), свернуть его вдвое, а боковые стороны пригнуть к середине.
   Затем заготовка разворачивается и следом складывается по центральной линии. Края нужно свернуть к центру, а затем – повторно раскрыть.
2. Деталь согнуть так, чтобы квадрат превратился в треугольник. После этого его необходимо распрямить, а боковые части пригнуть к центральной линии. Затем один из нижних краев следует отвести в сторону. В результате должен выйти уголок. Противоположный край нужно согнуть к центру, чтобы образовался острый носик.
3. Всю вышеописанную процедуру повторить еще раз, но только теперь уже со 2-й стороной детали. В результате образуется квадрат с парой носиков в форме треугольников.
4. Пазл нужно согнуть вдоль, при этом один из 2-х треугольников заворачивается вперед, а другой в противоположную сторону.
   Далее, деталь нужно выпрямить. Для этого следует потянуть за ее кончики. Так получится первое звено декоративного икосаэдра. Однако всего таких звеньев должно быть 30, поэтому процедура выполняется еще 29 раз.
5. Когда все 30 элементов готовы, можно приступать к их соединению. Делается это следующим образом: кончик одного звена нужно просунуть в кармашек другого; затем в этот же кармашек вставляется кончик 3-го звена; а кончик 4-го продевается в 5-е; затем 1-е вставляется в 5-е, в результате чего кольцо становится замкнутым.
6. Все кончики следующего лепестка нужно поместить в промежутки между звеньями, чтобы образовался треугольник.
7. Аналогичной процедуре нужно подвергнуть каждую деталь. После запирания заключительного треугольника образуется красивая фигура, которая превосходно будет смотреться на праздничной елке.

Поняв, как из бумаги делается развертка из бумаги для склеивания икосаэдр, можно приступать к самостоятельному моделированию, применяя для этого самые различные цветовые решения, материалы и украшения.

Видео:Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «основание») - одно из Платоновых телСкачать

Видео о создании икосаэдра из бумаги

Мастер-класс по изготовлению икосаэдра с отверстиями:

Видео:Dividing The Icosahedron Into Twenty Tetrahedra / Разделение икосаэдра на двадцать тетраэдровСкачать

Икосаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Икоси» означает двадцать, «хедра» — означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).

Видео:Net of Icosahedron / Розгортка икосаедра / Развёртка икосаэдраСкачать

Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Икосаэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный треугольник;
• Число сторон у грани – 3;
• Общее число граней – 20;
• Число рёбер, примыкающих к вершине – 5;
• Общее число вершин – 12;
• Общее число рёбер – 30.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (60° x 5).
Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:60-ти гранник (Икосаэдр + 20 тетраэдров)Скачать

Математические характеристики икосаэдра

Икосаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы икосаэдра

где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь икосаэдра.

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Для наглядности площадь поверхности икосаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон икосаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 20. Либо воспользоваться формулой:

Объем икосаэдра определяется по следующей формуле:

Видео:Solidworks. Правильный икосаэдрСкачать

Вариант развертки

Икосаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал икосаэдр с «земным» элементом вода, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали голубой цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски 20 граней икосаэдра с использованием пяти цветов.

Видео:Большой икосаэдр. Сборка звездчатого многогранника своими рукамиСкачать

Икосаэдр.

Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, один из тел Платона.

Ранее мы писали о додекаэдре , сейчас поговорим о другом похожем двадцатиграннике – икосаэдре .

Все 20 граней являются равносторонними треугольниками. количество ребер

соответствует 30, количество вершин — 12. Икосаэдр состоит из 59

Все 12 вершин икосаэдра являются вершинами 5 равносторонних

треугольников, значит, сумма углов у вершины = 300°.

У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину,

а грани — равную площадь.

У икосаэдра, как и додекаэдра, 15 осей симметрии, все проходят через

середины противолежащих параллельных ребер. Точка пересечения этих

осей икосаэдра – это и есть его центр симметрии.

Так же как и у додекаэдра, у икосаэдра 15 плоскостей симметрии.

Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, которые лежат в

одной плоскости, и середины противоположных параллельных ребер.

Пусть длина ребра икосаэдра будет а тогда:

Сумма длин всех ребер:

Площадь икосаэдра:

Объем икосаэдра:

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

Свойства икосаэдра.

• Каждая из 12 вершин икосаэдра лежит по 3 в 4-х параллельных плоскостях, образуя во всех

• 10 вершин икосаэдра находятся в 2-х параллельных плоскостях, и образуют в них 2 правильных

5-ти угольника, а оставшиеся 2 — противоположны друг другу и находятся в 2-х концах диаметра

описанной вокруг икосаэдра сферы, который перпендикулярен параллельным плоскостям.

• Икосаэдр возможно вписать в куб, тогда 6 взаимо-перпендикулярных ребер икосаэдра будут

находиться соответственно на 6-ти гранях куба, оставшиеся 24 ребра находятся внутри куба, все 12

вершин икосаэдра будут находиться на ше6-ти гранях куба.

• В икосаэдр можно вписать тетраэдр, таким образом, чтобы 4 вершины тетраэдра станут

совмещены с 4-мя вершинами икосаэдра.

• Икосаэдр возможно вписать в додекаэдр, тогда вершины икосаэдра совместятся с центрами

• В икосаэдр возможно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней

• Усечённый икосаэдр можнополучить, срезав 12 вершин с образованием граней вида правильных

5-ти угольников. Тогда количество вершин нового многогранника увеличится в 5 раз (12×5=60), 20

треугольных граней становятся правильными шестиугольниками (количество граней

теперь 20+12=32), а рёбер — 30+12×5=90.

• Сделать икосаэдра можно из 20 тетраэдров.

• Нельзя сделать икосаэдр из правильных тетраэдров, потому что радиус описанной сферы вокруг

икосаэдра и длина бокового ребра (вершины-центр такой сборки) тетраэдра меньше ребра икосаэдра.

Усечённый икосаэдр.

Усечённый икосаэдр — это многогранник, который состоит из 12 правильных 5-ти угольников и 20

правильных 6-ти угольников. У усеченного икосаэдра икосаэдрический тип симметрии.

Примеры икосаэдров в мире:

• Обычный футбольный мяч является усечённым икосаэдром.

• Капсиды большинства вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).

Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр.

Развертка икосаэдра.

Как сделать икосаэдр.

Способ № 1 Икосаэдр из заготовки

Распечатываем готовое изображение развертки икосаэдра, вырезаем и склеиваем по границам. Далее

на ваше усмотрение окрашиваете в любой цвет и украшаете.

Способ № 2 Икосаэдр своими руками

Вам понадобится бумага, карандаш, линейка (удобней будет циркуль), ножницы, клей ПВА (или другой).

При помощи линейки, циркуля и карандаша рисуем на бумаге несколько треугольников (как на рисунке

ниже). Чтоб было легче, можете нарисовать 5 параллелограммов, а после каждый прямоугольник

разделить на 4 равносторонних треугольника. Далее вырезаем, оставив места для склейки и

📹 Видео

№20 Шестая звёздчатая форма икосаэдра, Sixth stellated icosahedronСкачать

Девятая звёздчатая форма икосаэдра. Сборка многогранника своими рукамиСкачать

Гороховый конструктор: октаэдр и икосаэдр. 3D конструктор своими руками. Геометрия для детейСкачать

Икосаэдр из бумаги/Paper icosahedron/Правильный многогранник/DIYСкачать

Оригами октахедрон • Геометрическая фигура окраэдр из 1 листа бумаги без клея • Oridami OctahedronСкачать

Icosahedron assembly of 20 tetrahedra, Сборка икосаэдра из 20 тетраэдровСкачать

Объемный икосаэдр за 10 минут! Как соединить грани под углом. Corel Draw от ДеревяшкинаСкачать

Разметка икосаэдраСкачать

Net of Solid Shapes - Icosahedron / Ікосаедр / ИкосаэдрСкачать

Многогранники : Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Гексаэдр, ДодекаСкачать

Net of Icosahedron / Розгортка икосаедра / Равёртка икосаэдраСкачать