Задачи на вектора параллелепипеда

4.6. Задачи с решениями

1. В параллелепипеде обозначим . Выразить через векторы a, b, с диагонали параллелепипеда и диагонали граней.

Решение. Сделаем чертёж. Пользуясь правилом сложения векторов, получаем:

AC = AB + AD = b + с, AC1 = AA1 + AC = a + b + с .

Из того же треугольника AA1C получаем: A1C = AC — AA1 = b + с — a.

Чтобы найти B1C, заметим, что B1C = A1D, так как у этих векторов совпадают и длины, и направления. Поэтому B1C = A1D = AD — AA1 = с — a.

Аналогично: DC1 = AB1 = AA1 + AB = a + b .

2. Найти длину и направляющие косинусы вектора AB, если его начало и конец находятся в точках A(7, 6), B(2 — 6).

Решение. Так как каждая точка задана двумя координатами, то рассматривается вектор на плоскости. Находим его координаты, вычитая из координат точки B (конца вектора) координаты точки A (начала вектора): AB = (2 — 7, —6 — 6) = (—5, —12). Находим длину: |AB | = 13, направляющие косинусы: .

3. Найти координату z вектора a = (1, —3, z), если известно, что она отрицательна, а модуль |a| = . Где окажется конец вектора a, если его отложить из точки M(5, —2, 1)?

Решение. По условию, . поэтому ZN = —8.

4. Найти расстояние между точками A(5, —2, 4) и B( —1, 0, 6).

Решение. Расстояние равно длине вектора AB. Найдём:

5. При каких p, q векторы a = (2,p, — 1), b = qi + 9j + 3k будут коллинеарными?

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Вы будете перенаправлены на Автор24

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Произвольный вектор $overrightarrow

$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

[overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow

=overrightarrow]

Рассмотрим следующий рисунок:

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $overrightarrow

$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $overrightarrow

$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Тогда, получаем, что

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow

$ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:

Вычтем эти разложения друг из друга

Из этого получаем

Теорема доказана.

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA₁(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

• а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA₁). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
V_ABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. S_ABCD= |[AB AD]|.

Теперь найдём модуль этого вектора:

S_ADD1A1= |[AD AA₁]|=√(81+256+1)=13√2.