Чему равны координаты вектора равного сумме 2 данных векторов

Координаты вектора. Направляющие косинусы

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$ и произвольный вектор $overline$, начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Сумма двух векторов, заданных координатами

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Умножение вектора на число

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки $Aleft(a_ ; a_right)$ и $Bleft(b_ ; b_right)$. Тогда координаты вектора $overline=left(x_ ; y_right)$ находятся по формулам (рис. 4):

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Задание. Найти координаты вектора $overline$, если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

Решение. $overline=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$

Направляющие косинусы

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Здесь $alpha$, $beta$ и $gamma$ — углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей $O x$, $O y$ и $O z$ соответственно.

Основное свойство направляющих косинусов

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем: нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

	Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем: нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов: Fрез. = [ F1 2 + F2 2 -2 F1 F2 cos(180 о -α) ] 1/2 (1) где F = числовое значение вектора α = угол между векторами 1 и 2 Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов: β = arcsin[ F2 *sin(180 o -α) / FR ] (2) где α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Вектор. Координаты вектора.

В прямоугольной системе координат х0у проекции х и у вектора на оси абсцисс и ординат называются координатами вектора. Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у), а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х₁;у₁) и B(x₂;y₂) можно вычислить:

= (x₂ – x₁ ; y₂ – y₁).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х₁;у₁;z₁) и B(x₂;y₂;z₂) можно вычислить применив формулу:

= (x₂ – x₁ ; y₂ – y₁;z₂ – z₁).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора. (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты.

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат.

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов.

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

🌟 Видео