Найти коэффициент корреляции случайного вектора

Рассмотрим теперь моментные числовые характеристики случайных векторов, ограничиваясь двумерным случаем.

Определение. Начальным и центральным моментами порядка k + I случайного вектора <X,У) называются числа а_к ,[Х, У] и L_kj[X, У] соответственно, определенные по формулам

1. Ясно, что начальные моменты 1-го порядка — это математические ожидания компонент: У] = Щ, oc₀,i[^> Л = Щ-

Вектор (т_х, m_Y) называется математическим ожиданием или центром рассеяния случайного вектора (X, У).

• 2. Центральные моменты первого порядка, очевидно, равны нулю: (J.J о = p₀,i =0.
• 3. Есть три начальных момента второго порядка: а₂$[Х, У], а₀₂[Х, У] и ocj_<[Х, У], причем первые два из них — это начальные моменты второго порядка компонентХи У, т.е. а₂₍Х, У] = а₂[Х] иа_0>2[А, У] = а₂[У].
• 4. Имеются три центральных момента второго порядка, а именно i₂fi[X, У], |li₀₂[A, Л и Шд[^ У]. Первые два из них —это дисперсии компонент вектора (X, У): р₂₀[А, У] = D_x, р₀₂[А, У] = D_Y. Представляет особый интерес момент 1ц[Х, У].

Определение. Центральный момент второго порядка i_{< [}[X, У] называется ковариацией случайных величин X и У и обозначается cov[A, У] или

Рассмотрим основные свойства ковариации.

тогда и только тогда, когда Хи Yсвязаны линейной зависимостью: Y = аХ + Ь.

]a 2 D 2 [X] = aD[X]. Отсюда следует (22.22).

б) Предположим теперь, что выполняется равенство (22.22). Это означает, что дискриминант А = 0, поэтому квадратное уравнение

имеет единственное решение (обозначим его -а), т.е. D[Z__а] = D[-aX+ + Y] = 0. По свойству 1 дисперсии заключаем, что случайная величина -аХ + Y принимает единственное значение (обозначим его Ъ): -аХ + Y = Ь, откуда Y = аХ + Ь. ?

Замечание. Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю, см. свойство 4. А обратное утверждение, в общем случае, неверно: существуют зависимые (в том числе и функционально зависимые) случайные величины, ковариация которых равна нулю.

Пример 22.26. Пусть СВДТ Xимеет ряд распределения

и У = X 2 , т.е. случайные величины X и У связаны функциональной зависимостью и, следовательно, зависимы (убедитесь, рассмотрев равенство (22.11)).

Найти ковариацию Хи Y.

? С учетом свойства 3 ковариации находим

Легко убедиться, что М[Х] = 0 и М[Х 3 ] = ^xjp, = 0. Таким образом, cov[A У] = 0. ?

Замечание. Ковариация соу[Л У] определенным образом характеризует степень зависимости случайных величин X и У. Однако более удобной в приложениях является нормированная ковариация или коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин X и У называется число

если оно существует. В случае p[2f, YJ = 0 величины X и Yназывают некоррелированными, а в противном случае — коррелированными.

Из свойств ковариации непосредственно вытекают такие свойства коэффициента корреляции:

• 1. р[Х, Y]| 0, то с ростом одной из величин X и У другая в среднем также возрастает и говорят о положительной корреляции между ними. Например, пусть X — это рост случайно выбранного человека, а У — его вес. Тогда между Хи У имеется положительная корреляция.

При р[Х, У] Хи У ведут себя почти как некоррелированные. Если же |р[Х, У]| = 1 <сильная корреляция),то связь между Хи У напоминает линейную функциональную зависимость, переходя в нее при р[Х, У]| = 1 <полная корреляция).

Иллюстрации поведения реализаций (результатов измерений) <x_h у/) случайного вектора <X,У) с коррелированными компонентами в зависимости от характера корреляции приведены на рис. 22.6. Каждая реализация представлена точкой в координатной системе Оху. Рис. 22.6, а, б, в иллюстрируют сильную положительную, слабую отрицательную и полную положительную корреляции соответственно.

Найти коэффициент корреляции случайного вектора

6.5.1 лПЧБТЙБГЙС. лПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛПТТЕМСГЙЙ

рХУФШ ЪБДБОП ЧЕТПСФОПУФОПЕ РТПУФТБОУФЧП ( W , F, P) Й ДЧЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η ОБ ОЕН.

пртедемеойе 6.5.1.1
лпчбтйбгйек ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ Й η ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМП, ПРТЕДЕМСЕНПЕ РП ЖПТНХМЕ: M((ξ — Mξ)(η — Mη)).

пЮЕЧЙДОП, ЮФП cov(ξ, η) НПЦОП ОБКФЙ ФПМШЛП Ч ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ УХЭЕУФЧХАФ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ПЦЙДБОЙС.

ъбнеюбойе. жПТНХМБ (6.5.1.1) Ч ТБУЮЕФБИ ЙУРПМШЪХЕФУС ТЕДЛП. пРЙТБСУШ ОБ УЧПКУФЧБ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС Й ДЙУРЕТУЙЙ, НПЦОП РПМХЮЙФШ ВПМЕЕ ХДПВОЩЕ ДМС ТБУЮЕФПЧ ЖПТНХМЩ.

M((ξ — Mξ)(η — Mη)) = M(ξη — ηMξ — ξMη + MξMη) =

= M(ξη) — MξMη — MξMη + MξMη = M(ξη) — MξMη. уМЕДПЧБФЕМШОП,

D(ξ + η) = Dξ + Dη + 2M(ξη) — 2MξMη = Dξ + Dη + 2cov(ξ, η) (уНПФТЙ 6.2.2).

D(ξ — η) = D(ξ + (-η)) = Dξ + D(-η) — 2M(ξ(-η)) — MξM(-η) =
= Dξ + D(-η) — 2(M(ξη) — MξMη) = Dξ + Dη — 2cov(ξ, η).

фептенб 6.5.1.1 (уЧПКУФЧБ ЛПЧБТЙБГЙЙ ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО)
1. еУМЙ ξ Й η — ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ, ФП cov(ξ, η) = 0.
2. cov(ξ, η) = cov(η, ξ).
3. cov(ξ, ξ) = Dξ.
4. cov(ξ, Cη) = Ccov(ξ, η),
cov(Cξ, η) = Ccov(ξ, η), » C п R.
5. cov(ξ₁ + ξ₂, η) = cov(ξ₁, η) + cov(ξ₂, η);
cov(ξ, η₁ + η₂) = cov(ξ, η₁) + cov(ξ, η₂).

уРТБЧЕДМЙЧПУФШ ХФЧЕТЦДЕОЙК 2-3 УМЕДХЕФ ЙЪ ЖПТНХМЩ (6.5.1.2). дМС ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ ПУФБМШОЩИ ЧПУРПМШЪХЕНУС УППФЧЕФУФЧХАЭЙНЙ УЧПКУФЧБНЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС.

1) cov(ξ, η) = M(ξη) — MξMη = MξMη — MξMη = 0, ФБЛ ЛБЛ ДМС ОЕЪБЧЙУЙНЩИ η, ξ M(ξη) = MξMη.

4) cov(ξ, Cη) = M(ξCη) — MξM(Cη) = CM(ξη) — CMξMη = Ccov(ξ, η).

уРТБЧЕДМЙЧПУФШ ЧФПТПК ЖПТНХМЩ НПЦОП ДПЛБЪБФШ МЙВП БОБМПЗЙЮОП, МЙВП, ЙУРПМШЪХС УЧПКУФЧП 2.

уРТБЧЕДМЙЧПУФШ ЧФПТПК ЖПТНХМЩ НПЦОП ДПЛБЪБФШ МЙВП БОБМПЗЙЮОП, МЙВП ЙУРПМШЪХС УЧПКУФЧП 2.

умедуфчйе 6.5.1.1
1. cov(ξ, C) = cov(C, ξ) = 0, » C п R.
2. cov(ξ, Aξ + B) = cov(Aξ+B, ξ) = ADξ, » A, B п R.

1) рПУФПСООХА у НПЦОП ТБУУНБФТЙЧБФШ ЛБЛ УМХЮБКОХА ЧЕМЙЮЙОХ η, РТЙОЙНБАЭХА ПДОП ЪОБЮЕОЙЕ у У ЧЕТПСФОПУФША 1. пЮЕЧЙДОП, ЮФП Ч ЬФПН УМХЮБЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η — ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, cov(ξ, η) = 0.

2) cov(ξ, Aξ + B) = cov(ξ, Aξ) + cov(ξ, B) = Acov(ξ, ξ) + 0 = ADξ.

ъбнеюбойе. уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП ЙЪ cov(ξ, η) = 0 ОЕ УМЕДХЕФ ОЕЪБЧЙУЙНПУФЙ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ, η.

оБРТЙНЕТ, РХУФШ ξ — УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ ДЙУЛТЕФОПЗП ФЙРБ, ЙНЕАЭБС УМЕДХАЭЙК ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС:

Mξ = (1/4)ћ(-2) + (1/4)ћ(-1) + (1/4)ћ2 + (1/4)ћ1 = 0.

тБУУНПФТЙН η = ξ 2 (η Й ξ Ч ФБЛПН УМХЮБЕ ЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ!) ъБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ η ЙНЕЕФ ЧЙД:

Mη = (1/2)ћ1 + (1/2)ћ4 = 5/2.

cov(ξ, η) = M(ξη) — MξMη = M(ξћξ 2 ) — 0ћ(5/2) = M(ξ 3 ).

уМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ ξ 3 ЙНЕЕФ ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС:

Mξ 3 = (1/4)ћ(-8) + (1/4)ћ(-1) + (1/4)ћ1 + (1/4)ћ8 = 0. уМЕДПЧБФЕМШОП, cov (ξ, η) = 0, Б УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ СЧМСАФУС ЪБЧЙУЙНЩНЙ.

пртедемеойе 6.5.1.2
лПЬЖЖЙГЙЕОФПН лпттемсгйй ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ Й η ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМП, ПРТЕДЕМСЕНПЕ РП ЖПТНХМЕ:

пвпъобюеойе:

(6.5.1.5)

ъбнеюбойе. пЮЕЧЙДОП, ЮФП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛПТТЕМСГЙЙ ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ МЙЫШ Ч ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ УХЭЕУФЧХАФ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ПЦЙДБОЙС Й Dξ 0, Dη 0.

пРЙТБСУШ ОБ УЧПКУФЧБ ЛПЧБТЙБГЙЙ Й ДЙУРЕТУЙЙ (6.2.2), НПЦОП РПМХЮЙФШ ЕЭЕ ФТЙ ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ ЖПТНХМЩ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ ЛПТТЕМСГЙЙ.

(уНПФТЙ ЖПТНХМХ 6.5.1.3). уМЕДПЧБФЕМШОП,

уПЧЕТЫЕООП БОБМПЗЙЮОП, ПРЙТБСУШ ОБ ЖПТНХМХ 6.5.1.4, НПЦОП ДПЛБЪБФШ, ЮФП:

фептенб 6.5.1.2 (уЧПКУФЧБ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ ЛПТТЕМСГЙЙ)
1. еУМЙ ξ Й η — ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ, ФП ρ(ξ, η) = 0.
2. ρ(ξ, η) = ρ(η, ξ).
3. ρ(Cξ, η) = ρ(ξ, Cη) = signC ρ(Cξ, η), » C п R (C 0).
4. |ρ(ξ, η)| ≤ 1.
5. |ρ(ξ, η)| = 1 щ $ A, B п R (A 0): η = Aξ + B.

уЧПКУФЧБ 1-2 УМЕДХАФ ЙЪ УЧПКУФЧ ЛПЧБТЙБГЙЙ.

4) фБЛ ЛБЛ ДЙУРЕТУЙС МАВПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ (ЕУМЙ ПОБ УХЭЕУФЧЕФ) — ЧЕМЙЮЙОБ ОЕПФТЙГБФЕМШОБС, ФП ЙЪ ЖПТНХМ (6.5.1.7 Й 6.5.1.8) УМЕДХЕФ:

5) ( а ) (ОЕПВИПДЙНПУФШ)

Б) ρ(ξ, η) = 1 а ЙЪ ЖПТНХМЩ 6.5.1.8 УМЕДХЕФ, ЮФП .

ч ФБЛПН УМХЮБЕ, $ C п R:

фБЛЙН ПВТБЪПН, η = Aξ + B, ЗДЕ

ъБНЕФЙН, ЮФП .

В) ρ(ξ, η) = -1. тБУУХЦДБС БОБМПЗЙЮОП Й ЙУРПМШЪХС ЖПТНХМХ 6.5.1.7, НПЦОП ДПЛБЪБФШ, ЮФП

( ш ) η = Aξ + B; A, B п R Й A 0. (дПУФБФПЮОПУФШ.)

умедуфчйе 6.5.1.2
ρ(ξ, ξ) = 1.

ъбнеюбойе. уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП ЙЪ ρ(ξ, η) = 0 ОЕ УМЕДХЕФ ОЕЪБЧЙУЙНПУФШ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ Й η. (фБЛ ЛБЛ ρ(ξ, η) = 0 щ cov(ξ,η)=0; Б ЙЪ cov(ξ,η)=0 ОЕ УМЕДХЕФ, ЮФП ξ Й η ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ).

пртедемеойе 6.5.1.3
еУМЙ ρ(ξ, η) = 0, ФП УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η ОБЪЩЧБАФУС оелпттемйтхенщнй.

ъбнеюбойе. еУМЙ ρ(ξ, η) 0, ФП УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η СЧМСАФУС ЪБЧЙУЙНЩНЙ (РТЙ ρ(ξ, η) = 0 ПОЙ НПЗХФ ВЩФШ ЛБЛ ЪБЧЙУЙНЩНЙ, ФБЛ Й ОЕЪБЧЙУЙНЩНЙ).

еУМЙ ρ(ξ, η) 1, ФП ОБЙМХЮЫЕЕ МЙОЕКОПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ДМС η ЙНЕЕФ ЧЙД:

ьФП РТЙВМЙЦЕОЙЕ СЧМСЕФУС ОБЙМХЮЫЕН Ч УНЩУМЕ:

рХУФШ ОБ ЧЕТПСФОПУФОПН РТПУФТБОУФЧЕ ( W , F, P) ЪБДБО УМХЮБКОЩК ЧЕЛФПТ (ξ₁, ξ₂, . , ξ_n).

фБЛ ЛБЛ k_ij = cov(ξ_i, ξ_j) = cov(ξ_j, ξ_i) = k_ji, » i, j, ФП НБФТЙГБ K — УЙННЕФТЙЮОБС НБФТЙГБ (ПФОПУЙФЕМШОП ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ); k_ii = Dξ_i, i= 1, . , n.

пртедемеойе 6.5.1.5
пРТЕДЕМЙФЕМШ ЛПЧБТЙБГЙПООПК НБФТЙГЩ ОБЪЩЧБЕФУС пвпвэеоопк дйуретуйек УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ.

еУМЙ ξ₁, ξ₂, . , ξ_n РПРБТОП ОЕЪБЧЙУЙНЩ ЙМЙ cov(ξ_i, ξ_j) = 0, i j, ФП НБФТЙГБ K СЧМСЕФУС ДЙБЗПОБМШОПК::

фептенб 6.5.1.3
еУМЙ ЙЪЧЕУФОБ ЛПЧБТЙБГЙПООБС НБФТЙГБ л = (k_ij)_n УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ₁, ξ₂, . , ξ_n) Й η_i = c_i1ξ₁ + c_i2ξ₂ + . + c_inξ_n, i = 1, . , n; ФП ЕУФШ

ФП ЛПЧБТЙБГЙПООБС НБФТЙГБ H = (h_ij), h_ij = cov(η_i, η_j) УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (η₁, η₂, . , η_n) НПЦЕФ ВЩФШ ОБКДЕОБ РП ЖПТНХМЕ:
H = CћKћC T .

уМЕДПЧБФЕМШОП, ЛПТТТЕМСГЙПООБС НБФТЙГБ R СЧМСЕФУС УЙННЕФТЙЮОПК.

еУМЙ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ₁, ξ₂, . , ξ_n РПРБТОП ОЕЪБЧЙУЙНЩ ЙМЙ ОЕЛПТТЕМЙТХЕНЩ, ФП ЛПТТЕМСГЙПООБС НБФТЙГБ R СЧМСЕФУС ЕДЙОЙЮОПК:

ъбнеюбойе. уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП ЮФП ЪОБС ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ₁, ξ₂, . , ξ_n), НПЦОП ОБКФЙ ЮЙУМПЧЩЕ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ ЛПНРБОЕФ (ЕУМЙ ПОЙ УХЭЕУФЧХАФ).

оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ ЧЕЛФПТ — УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ БВУПМАФОП ОЕРТЕТЧЩОПЗП ФЙРБ У РМПФОПУФША ТБУРТЕДЕМЕОЙС , ФП

ъБРЙЫЙФЕ УБНПУФПСФЕМШОП УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЖПТНХМЩ ДМС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ ДЙУЛТЕФОПЗП ФЙРБ.

ъбдбюб 6.5.1.1 йЪЧЕУФОП, ЮФП Mξ = 1, Dξ = 2; η = 5ξ + 7. оБКФЙ cov(ξ, η).

cov(ξ, η) = cov(ξ, 5ξ + 7) = 5Dξ = 10.

ъбдбюб 6.5.1.2 йЪЧЕУФОП, ЮФП Mξ = 3, Dξ = 8. оБКФЙ ρ(ξ, η), ЕУМЙ η = — 15ξ + 2.

ъбдбюб 6.5.1.3 дБО ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ₁, ξ₂) ДЙУЛТЕФОПЗП ФЙРБ:

	5	6	7
0	0,2	0	0
0,1	0,1	0,15	0
0,2	0,05	0,15	0,1
0,3	0,05	0,1	0,1

оБКФЙ: ЛПЧБТЙБГЙПООХА Й ЛПТТЕМСГЙПООХА НБФТЙГЩ УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ₁, ξ₂).

1) рТЕЦДЕ ЧУЕЗП ОБКДЕН ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЛБЦДПК ЛПНРПОЕОФЩ (БМЗПТЙФН УНПФТЙ 4.4.2)

Mξ₁ 2 = 25ћ0,4 + 36ћ0,4 + 49ћ0,2 = 34,2;

Mξ₂ = 0ћ0,2 + 0,1ћ0,25 + 0,2ћ0,3 + 0,3ћ0,25 = 0,16;

Mξ₂ 2 = 0ћ0,1 + 0,01ћ0,25 + 0,04ћ0,3 + 0,09ћ0,25 = 0,037;

ъБНЕФЙН, ЮФП УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ ξ₁ћξ₂ РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙЕ ЪОБЮЕОЙС Ч ЪБЧЙУЙНПУФЙ ПФ ЪОБЮЕОЙК ЛПНРПОЕОФ:

	5	6	7
0	0	0	0
0,1	0,5	0,6	0,7
0,2	1	1,2	1,4
0,3	1,5	1,8	2,1

уМЕДПЧБФЕМШОП, ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ξ₁ћξ₂ ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ЧЙД:

M(ξ₁ξ₂) = 0ћ0,2 + 0,1ћ0,5 + 0,6ћ0,15 + 0,7ћ0 + 0,05ћ1 + 0,15ћ1,2 +
+ 1,4ћ0,1 + 1,5ћ0,05 + 0,1ћ1,8 + 0,1ћ2,1 = 0,975.

Dξ₁Dξ₂ = 0,56ћ0,0114 = 0,006384 а ρ₁₂ = ρ₂₁ = 0,588.

ъбдбюб 6.5.1.4 йЪЧЕУФЕО ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ:

	0	1
-1	0,1	0,2
0	0,2	0,3
1	0	0,2

оБКФЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ Й ДЙУРЕТУЙА УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ q = 2ξ₁ + ξ 2 ₂.

уМЕДПЧБФЕМШОП, РТЕЦДЕ ЧУЕЗП ПРТЕДЕМЙН ЪБЛПОЩ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ξ₁ Й ξ₂.

cov(ξ₁, ξ₂ 2 ) = 0,4 — 0,7 ћ 0,5 = 0,05. фБЛЙН ПВТБЪПН,

M q = 2ћ0,7 + 0,5 = 1,9;

D q = 4ћ0,21 + 0,25 + 2ћ0,05 = 0,84 + 0,25 + 0,1 = 1,29.

ъбдбюб 6.5.1.5 йЪЧЕУФОБ РМПФОПУФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ, η):

оБКФЙ ЛПЧБТЙБГЙА УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ, η.

Cov(ξ, η) = π/2 — 1 — π 2 /16.

(чУЕ ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЧЕТШФЕ!)

ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС.

ъбдбюб 6.5.1.1(у) дБО ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ₁, ξ₂):

	0	2	5
1	0,1	0	0,2
2	0	0,3	0
4	0,1	0,3	0

уПУФБЧЙФШ ЛПЧБТЙБГЙПООХА Й ЛПТТЕМСГЙПООХА НБФТЙГЩ.

ъбдбюб 6.5.1.2(у) ъБДБО УМХЮБКОЩК ЧЕЛФПТ (ξ, η). йЪЧЕУФОП, ЮФП Mξ = 0, Mη = 2, Dξ = 2, Dη = 1, ρ(ξ, η) = — . оБКФЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ Й ДЙУРЕТУЙА УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ q = 2ξ — 3η.

ъбдбюб 6.5.1.3(у) йЪЧЕУФОБ РМПФОПУФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ, η):

D — ФТЕХЗПМШОЙЛ, ПЗТБОЙЮЕООЩК РТСНЩНЙ x + y = 1, x = 0, y = 0. оБКФЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛПТТЕМСГЙЙ.

© гЕОФТ ДЙУФБОГЙПООПЗП ПВТБЪПЧБОЙС пзх, 2000-2002

Двумерная дискретная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной дискретной случайной величины. Но бывает, что результат испытания описывается не одной, а несколькими случайными величинами (случайным вектором).

В случае двух величин (скажем, $X$ и $Y$) мы имеем дело с так называемой двумерной дискретной случайной величиной $(X,Y)$ (или системой случайных одномерных величин). Кратко выпишем основы теории.

Система двух случайных величин: теория

Двумерная ДСВ задается законом распределения (обычно представленным в виде таблицы распределения):

$$ P(X=x_i, Y=y_k)=p_, i=1,2. m; k=1,2. n; quad sum_p_=1. $$

По нему можно найти одномерные законы распределения (составляющих):

$$ p_i=P(X=x_i)=sum_p_, i=1,2. m; \ p_k=P(Y=y_k)=sum_ p_, k=1,2. n. $$

Интегральная функция распределения задается формулой $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$. Даже для самого простого закона распределения 2 на 2 функция занимает 5 строк, поэтому ее редко выписывают в явном виде.

Если для любой пары возможных значений $(X=x_i, Y=y_k)$ выполняется равенство

$$P(X=x_i, Y=y_k)=P(X=x_i)cdot P(Y=y_k),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми.

Если случайные величины зависимы, для них можно выписать условные законы распределения (для независимых они совпадают с безусловными законами):

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

Далее вы найдете разные примеры задач с полным решением, где используются дискретные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта В — 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X — индикатор дефекта А, a Y — индикатор дефекта В. Составить матрицу распределения двумерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и У и исследовать их зависимость.

Задача 2. Два баскетболиста по два раза бросают мяч в корзину. При каждом броске вероятность попадания для первого баскетболиста 0,6, для второго – 0,7. Случайная величина X – число попаданий первым баскетболистом по кольцу. Случайная величина Y – суммарное число попаданий обоими баскетболистами. Построить таблицу распределения случайного вектора (X,Y). Найти характеристики вектора (X,Y). Зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Задача 3. Слово РОССИЯ разрезано по буквам. Случайным образом вынимаем две буквы, тогда X – количество гласных среди них, затем вынимаем еще две буквы и Y – количество гласных во второй паре. Составить закон распределения системы случайных величин X, Y.

Задача 4. $X, Y$ — индикаторы событий $A, B$, означающий положительные ответы соответственно на вопросы $alpha, beta$ социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина $(X,Y)$ имеет следующую таблицу распределения.
Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.
Найти коэффициент корреляции $rho_$.

Задача 5. Составить закон распределения X — сумм очков и Y — числа тузов при выборе двух карт из колоды, содержащей только тузов, королей и дам (туз=11, дама=3, король=4)
Найти законы распределения величин Х и Y. Зависимы ли эти величины? Написать функцию распределения для (Х, Y). Построить ковариационный граф. Посчитать ковариацию (X,Y). Написать ковариационную матрицу. Посчитать корреляцию (X,Y) и написать корреляционную матрицу.

Задача 6. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайная величина X равна 1, если сумма выпавших чисел четна, и равна 0 в противном случае. Случайная величина Y равна 1, если произведение выпавших чисел четно, и 0 в противном случае. Описать закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти D[X], D[Y] и cov[X,Y].

Задача 7. В урне лежат 100 шаров, из них 25 белых. Из урны последовательно вынимают два шара. Пусть $X_i$ – число белых шаров, появившихся при $i$-м вынимании. Найти коэффициент корреляции между величинами $X_1$ и $X_2$.

Задача 8. Для заданного закона распределения вероятностей двухмерной случайной величины (Х, Y):
YX 2 5
8 0,15 0,10
10 0,22 0,23
12 0,10 0,20
Найти коэффициент корреляции между величинами Х и Y.

Задача 9. Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y).
А) найти безусловные законы распределения составляющих;
Б) построить регрессию случайной величины Y на X;
В) построить регрессию случайной величины X на Y;
Г) найти коэффициент ковариации;
Д) найти коэффициент корреляции.
20 30 40 50 70
3 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01
4 0,04 0,3 0,06 0,03 0,01
5 0,02 0,03 0,06 0,07 0,05
9 0,05 0,03 0,04 0,02 0,03
10 0,03 0,02 0,01 0,01 0,02

Задача 10. Система (x, y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей. Определить:
А) безусловные законы распределения составляющих;
Б) условный закон распределения y при x=1;
В) условное математическое ожидание x при y=2.
Г) вероятность того, что случайная величина (x,y) будет принадлежать области $|x|+|y|le 3$.
-3 0 2
-1 0 0,1 0,15
1 0,05 0,3 0,05
2 0,15 0,05 0,15

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности: