Признаки равенства окружностей — это признаки,
с помощью которых можно доказать, что окружности равны.
В этой статье мы рассмотрим доказательство трех признаков
равенства окружностей. Доказав которые можно научится
уметь решать задачи с доказательством любых признаков
равенства окружностей.
I признак равенства окружностей
Формулировка:
Если диаметр одной окружности равен диаметру другой окружности, то такие окружности равны.
Докажем, что окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC, изображенные на рисунке 1 равны между собой.
Доказательство:
- Рассмотрим окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC, в которых BA = DC. Докажем,
что окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC равны. - BA = DC, значит окружность с диаметром BA можно наложить на окружность с диаметром DC так, что они совместятся:
окружность с диаметром BA совместится с окружностью с диаметром DC. - Итак, окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д
II признак равенства окружностей
Формулировка:
Если радиус одной окружности равен радиусу другой окружности, то такие окружности равны.
Докажем, что окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE, изображенные на рисунке 2 равны между собой.
Доказательство:
- Рассмотрим окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE, в которых BO = DE. Докажем,
что окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE равны. - BO = DE, значит окружность с радиусом BO можно наложить на окружность с радиусом DE так, что они совместятся:
окружность с радиусом BO совместится с окружностью с радиусом DE. - Итак, окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.
III признак равенства окружностей.
Формулировка:
Если луч делит угол между центрами двух окружностей на два равных угла, то такие окружности равны.
Докажем, что две окружности, изображенные на рисунке 3 равны между собой.
Доказательство:
- Рассмотрим луч OD, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке В, отрезки OA и OB, в которых ∠AOD = ∠BOD. Докажем,что окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B равны.
- ∠AOD = ∠BOD, значит отрезки OA и OB можно наложить друг на другу так, что они совместятся:
отрезок OA совместится с отрезком OB. - Итак, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.
В этой статье мы доказали равенство окружностей по всем трем признакам.
Равенство окружностей
Первый признак равенства окружностей
Формулировка первого признака равенства окружностей:
Если диаметр одной окружности равен диаметру другой окружности,
то такие окружности равны.
Доказательство первого признака равенства окружностей:
- Рассмотрим окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC, в которых BA = DC. Докажем,
что окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC равны. - BA = DC, значит окружность с диаметром BA можно наложить на окружность с диаметром DC так, что они совместятся:
окружность с диаметром BA совместится с окружностью с диаметром DC. - Итак, окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д
Второй признак равенства окружностей
Формулировка второго признака равенства окружностей:
Если радиус одной окружности соответственно равен радиусу другой окружности, то такие окружности равны.
Доказательство второго признака равенства окружностей:
- Рассмотрим окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE, в которых BO = DE. Докажем,
что окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE равны. - BO = DE, значит окружность с радиусом BO можно наложить на окружность с радиусом DE так, что они совместятся:
окружность с радиусом BO совместится с окружностью с радиусом DE. - Итак, окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.
Третий признак равенства окружностей
Формулировка третьего признака равенства окружностей:
Если луч делит угол между центрами двух окружностей на два равных угла, то такие окружности равны.
Доказательство третьего признака равенства окружностей:
- Рассмотрим луч OD, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке В, отрезки OA и OB, в которых ∠AOD = ∠BOD. Докажем,что окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B равны.
- ∠AOD = ∠BOD, значит отрезки OA и OB можно наложить друг на другу так, что они совместятся:
отрезок OA совместится с отрезком OB. - Итак, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.
Равенство окружностей можно доказать с помощью трех признаков:
- По диаметру.
- По радиусу.
- По лучу и углу.
Равные хорды
Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.
Равные хорды равноудалены от центра окружности.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
1) AB=CD (по условию)
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.
II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.
2) ∠A=∠C (по доказанному).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.
Что и требовалось доказать .
Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.
1)OF=OK (по условию)
2)OD=OB (как радиусы).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.
По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.
Что и требовалось доказать.
Равные хорды стягивают равные дуги.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
1) AB=CD (по условию)
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.
Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD
Что и требовалось доказать .
Хорды, стягивающие равны дуги, равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.
Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.