Свойства секущих к окружности

Свойства касательных, секущих и хорд окружности. Радикальная ось

Факт 1.
(bullet) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Свойства секущих к окружности

Факт 2.
(bullet) Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Свойства секущих к окружности

Факт 3.
(bullet) Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

Свойства секущих к окружности

Факт 4.
(bullet) Если (OK) – касательная к окружности, где (K) – точка касания, (OB) – секущая, (A) и (B) – точки пересечения с окружностью, то

Свойства секущих к окружности

Факт 5.
(bullet) Если (OA) и (OB) – секущие к окружности, пересекающие повторно окружность в точках (B_1) и (A_1) соответственно, то

Свойства секущих к окружности

Факт 6.
(bullet) При пересечении хорд в окружности образуются две пары подобных треугольников.

Свойства секущих к окружности

Факт 7.
(bullet) Радикальная ось (AB) перпендикулярна линии (MN) центров двух пересекающихся окружностей.
(bullet) Отрезки (OK_1, OK_2, OK_3, OK_4) касательных, проведенных из точки (Oin AB) к обеим окружностям, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Хорда, секущая, касательная

Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Определения

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

В частности, хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Свойства секущих к окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Свойства

Свойства секущих к окружности

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной

Свойства секущих к окружности

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Свойства секущих к окружности

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением: Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: Свойства секущих к окружности

Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство

Свойства секущих к окружности

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Свойства секущих к окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства секущих к окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Свойства секущих к окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Свойства секущих к окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Свойства секущих к окружностиТеорема о бабочке

Свойства секущих к окружности

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСвойства секущих к окружности
КругСвойства секущих к окружности
РадиусСвойства секущих к окружности
ХордаСвойства секущих к окружности
ДиаметрСвойства секущих к окружности
КасательнаяСвойства секущих к окружности
СекущаяСвойства секущих к окружности
Окружность
Свойства секущих к окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойства секущих к окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойства секущих к окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойства секущих к окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойства секущих к окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойства секущих к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойства секущих к окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойства секущих к окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойства секущих к окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойства секущих к окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойства секущих к окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойства секущих к окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойства секущих к окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСвойства секущих к окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСвойства секущих к окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойства секущих к окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСвойства секущих к окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСвойства секущих к окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСвойства секущих к окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства секущих к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойства секущих к окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойства секущих к окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойства секущих к окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойства секущих к окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства секущих к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Пересекающиеся хорды
Свойства секущих к окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Свойства секущих к окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Свойства секущих к окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Свойства секущих к окружности
Пересекающиеся хорды
Свойства секущих к окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства секущих к окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Тогда справедливо равенство

Свойства секущих к окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Свойства секущих к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойства секущих к окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Свойства секущих к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойства секущих к окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Свойства секущих к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 классСкачать

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Свойства секущих к окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Свойства секущих к окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🎦 Видео

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд окружностиСкачать

Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд  окружности

Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Свойства Касательных, Хорд, СекущихСкачать

Свойства Касательных, Хорд, Секущих

Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностьюСкачать

Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностью

Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 классСкачать

Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 класс

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии
Поделиться или сохранить к себе: