Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность
Вписанный многоугольник
Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность
Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС.

Доказать: около Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВ = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАDС, Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС, откуда следует Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВ + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАDС + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность(Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАDС + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАDС + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВ + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBАD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВСDвнешний угол Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьСFD, следовательно, Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBСD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВFD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВFD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD и Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьFDE = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBСD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЕF = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность(Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЕF), следовательно, Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВСDОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBАD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВЕD, тогда Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBАD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBСDОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружность(Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВЕD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВЕD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBАD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBСDОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBАD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBСDОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBАD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВСF: Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьС + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВ + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьF = 180 0 , откуда Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьС = 180 0 — ( Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВ + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьF). (2)

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВ = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЕF. (3)

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьF и Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВFD смежные, поэтому Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьF + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьF = 180 0 — Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВFD = 180 0 — Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьС = 180 0 — (Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЕF + 180 0 — Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD) = 180 0 — Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЕF — 180 0 + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность(Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАDОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЕF), следовательно, Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьСОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьА = Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВЕD, тогда Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьА + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьСОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьОколо какой геометрической фигуры нельзя описать окружность(Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВЕD + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьА + Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружностьУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Около какой геометрической фигуры нельзя описать окружность

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

🔥 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | ИнфоурокСкачать

Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | Инфоурок

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)
Поделиться или сохранить к себе: