Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
1.Вектор и его абсолютная величина
Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор
. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:
. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора
имеют одинаковое направление. А вектора
Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.
Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.
Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.
Рис.1 Обозначение векторов.
Видео:Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.Скачать
Координаты вектора
Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора
с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут:
Координаты нулевого вектора равны нулю.
Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.
Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.
Рис.2 Координаты вектора.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
2.Сложение векторов
Пусть заданы два вектора со своими координатами
(b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами
В векторной форме можно записать так:
Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.
Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор
параллельным переносом так, чтобы конец вектора
совпадал с началом вектора
. Тогда начало вектора
и конец вектора
и будет сумма векторов
По методу параллелограмма, если два вектора
имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор
Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:
Для любых двух векторов
число λ можно вынести за скобку λ (
Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что
Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:
Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)
Так как координаты вектора
(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов
Рис.5 Скалярное произведение векторов.
Отсюда вытекает следующий вывод:
если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора
параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.
Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор
переходит в вектор
. А это значит, что эти вектора равны.
Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору
Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов
Доказательство:
Найдем координаты векторов
Таким образом, координаты векторов следующие:
А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и xAB = xCD, yAB = yCD, то вектора
Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).
Пример 3
В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что
Доказательство:
, равный и параллельный вектору
от точки С. И отложим вектор
, равный и параллельный вектору
от точки В (Рис.8).
Тодга получим параллелограмм, в котором вектор
, так же как вектор
. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то
Отсюда можно сделать вывод: так как
Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.
Пример 4
(-3;-2). Найдите вектор
и его абсолютную величину.
Решение:
, то найдем его координаты:
Теперь найдем его абсолютную величину:
| 2 = (-1) 2 + (-4) 2 = 17
| =
(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы
Рис.9 Задача. Даны векторы
Пример 5
Найдите угол между векторами
Решение:
По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:
Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /
Таким образом, угол между векторами
(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами
(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>
Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами
Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать
Примеры решения задач с векторами
Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Координаты вектора
Теоретический материал по теме — координаты вектора.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Вектор — это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало — точка. Модуль вектора (абсолютная величина) — длина этого направленного отрезка.
Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.
Два вектора являются равными , если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.
Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектораилимодулем вектора AB.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Определение.Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 0.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны , если существует число n такое, что
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны , если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны , если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами , если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).
Противоположно направленные вектора
Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами , если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).
Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами . (рис. 5).
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов.Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).
Условие равенства векторов.Вектора равны , если их координаты равны.
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.
Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Примеры задач на равенство векторов
Примеры плоских задач на равенство векторов
Пример 1. Определить какие из векторов равны a = , b = , c = .
a = b — так как их координаты равны, a ≠ c — так как их координаты не равны, b ≠ c — так как их координаты не равны.
Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = и b = равны.
Проверим равенство компонентов векторов a x = b x = 1 a y = b y => 8 = 2 n => n = 8/2 = 4
Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.
Примеры пространственных задач на равенство векторов
Пример 3. Определить какие из векторов равны a = , b = , c = .
a = c — так как их координаты равны, a ≠ b — так как их координаты не равны, b ≠ c — так как их координаты не равны.
Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = и b = равны.
Проверим равенство компонентов векторов a x = b x = 1 a y = b y = 2 a z = b z => 4 = 2 n => n = 4/2 = 2
Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.
Определение.Единичным вектором или ортом — называется вектор, длина которого равна единице.
Основное соотношение. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).
Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны) , если их скалярное произведение равно нулю.
Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки
Формула определения координат вектора для плоских задач
В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(A x ; A y ) и B(B x ; B y ) можно найти воспользовавшись следующей формулой
Формула определения координат вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(A x ; A y ; A z ) и B(B x ; B y ; B z ) можно найти воспользовавшись следующей формулой
Формула определения координат вектора дляn-мерного пространства
В случае n -мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A 1 ; A 2 ; . ; A n ) и B(B 1 ; B 2 ; . ; B n ) можно найти воспользовавшись следующей формулой
Примеры для плоских задач
Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).
Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = , если координаты точки A(3; -4).
Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = , если координаты точки B(3; -4).
Примеры для пространственных задач
Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).
Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = , если координаты точки A(3; -4; 3).
Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = , если координаты точки B(3; -4; 1).
Примеры дляn-мерного пространства
Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).
Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = , если координаты точки A(3; -4; 3; 2).
Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = , если координаты точки B(3; -4; 1; 8).
Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать
Определение длины вектора
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Основное соотношение.Длина вектора | a | в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать
Формулы длины вектора
Формула длины вектора для плоских задач
В случае плоской задачи модуль вектора a = < a x ; a y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула длины вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи модуль вектора a = < a x ; a y ; a z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < a x ; a y > и b = < b x ; b y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < a x ; a y ; a z > и b = < b x ; b y ; b z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула скалярного произведенияn-мерных векторов
В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a 1 ; a 2 ; . ; a n > и b = < b 1 ; b 2 ; . ; b n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Геометрическая интерпретация.Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Алгебраическая интерпретация.Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A 1 B 1 оси l , где точки A 1 и B 1 являются проекциями точек A и B на ось l . (рис. 1).
Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b .
Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:
Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Примеры задач на проекцию вектора
Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач
Пример 1. Найти проекцию вектора a = на вектор b = .
Найдем скалярное произведение этих векторов
a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11
Найдем модуль вектора b
| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
Найдем проекцию вектора a на вектор b
Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи
Пример 2. Найти проекцию вектора a = на вектор b = .
Настоящий материал опубликован пользователем Аюпова Илюза Каюмовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
На проекте: 3 года и 1 месяц
Подписчики: 0
Всего просмотров: 25941
Всего материалов: 21
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
Крупнейшие вузы Татарстана откроют цифровые кафедры в 2022 году
Время чтения: 1 минута
В Китае приняли закон о сокращении нагрузки на школьников
Время чтения: 1 минута
«Учителя года» проведут открытые занятия для педагогов России
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений
Время чтения: 1 минута
Свободное движение повышает креативность
Время чтения: 1 минута
Первые результаты по сокращению отчетности у учителей ожидаются осенью
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
📺 Видео
Скалярные и векторные величины, основные определения.Скачать
Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать
Абсолютная величина или модуль числа | ПОСМОТРИ ПЕРВЫМ!Скачать
Векторное произведение векторов решение задачСкачать
= 1 / 
