Курс школьной геометрии » Вектор

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Обновлено
Векторное произведение векторов онлайн

Данный онлайн калькулятор вычисляет векторное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления векторного произведения векторов введите координаты векторов в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Содержание
  1. Предупреждение
  2. Векторное произведение векторов
  3. Геометрические свойства векторного произведения векторов
  4. Векторное произведение векторов в декартовых координатах
  5. Векторное произведение векторов на примерах
  6. А i j 3k тогда вектор a имеет координаты
  7. Как написать хороший ответ?
  8. Векторное произведение векторов
  9. Определение векторного произведения
  10. Координаты векторного произведения
  11. Свойства векторного произведения
  12. Примеры решения задач
  13. Пример 1
  14. Пример 2
  15. Пример 3
  16. Геометрический смысл векторного произведения
  17. Физический смысл векторного произведения
  18. 🎦 Видео

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Векторное произведение векторов

Прежде, чем перейти к определению векторного произведения векторов, рассмотрим понятия упорядоченная тройка векторов, левая тройка векторов, правая тройка векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченой тройкой (или тройкой ), если указано, какой из этих векторов первый, какой второй и какой третьий.

Запись cba — означает — первым является вектор c, вторым является вектор b и третьим является вектор a.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, эти векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой(левой) руки.

Определение 2 можно формулировать и по другому.

Определение 2′. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Тройка векторов abc, изображенная на рис. 1, является правой, а тройка abc изображенная на рис. 2, является левой.

А i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Если две тройки векторов являются правыми либо левыми, то говорят, что они одной ориентации. В противном случае говорят, что они противоположной ориентации.

Определение 3. Декартовая или афинная система координат называется правой ( левой ), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

  • длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
    |c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;(1)
  • вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
  • вектор c направлен так, что тройка abc является правой.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

  • [ab]=−[ba] ( антиперестановочность сомножителей);
  • [(λa)b]=λ[ab] ( сочетательность относительно числового множителя);
  • [(a+b)c]=[ac]+[bc] ( распределительность относительно суммы векторов);
  • [aa]=0 для любого вектора a.

Видео:Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnline

Геометрические свойства векторного произведения векторов

Теорема 1. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда угол между ними 0 или 180° и sinφ=sin180=sin 0=0. Следовательно, учитывая выражение (1), длина вектора c равна нулю. Тогда c нулевой вектор.

Достаточность. Пусть векторное произведение векторов a и b навно нулю: [ab]=0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы коллинеарны (т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать коллинеарным любому вектору).

Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a|>0, |b|>0. Тогда из [ab]=0 и из (1) вытекает, что sinφ=0. Следовательно векторы a и b коллинеарны.

Теорема 2. Длина (модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Как известно, площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними. Следовательно:

S=|[ab]|=|a||b|sinφ.(2)

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Векторное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a=<x1, y1, z1>, b=<x2, y2, z2>.

Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

[ab]=<y1z2—y2z1, z1x2−z2x1, x1y2−x2y1>.(3)

Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).

Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i=, j=, k=). Тогда имеем:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты(4)
А i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Из последнего равенства и соотношений (4), получим:

А i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координаты

которая эквивалентна равенству (3).

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Векторное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти векторное произведение векторов [ab], где

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты, А i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

А i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Пример 2. Найти векторное произведение векторов [ab], где вектор a представлен двумя точками. Начальная точка вектора a: А i j 3k тогда вектор a имеет координаты, конечная точка вектора a: А i j 3k тогда вектор a имеет координаты, вектор b имеет вид А i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Р е ш е н и е. Переместим первый вектор на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки координаты начальной точки:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

А i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координатыА i j 3k тогда вектор a имеет координаты.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Видео:ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Вопрос по математике:

Вектор а имеет координаты (-3 3 1) его разложение i j k

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 2
Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторное произведение векторов

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

  • он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
  • он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
    А i j 3k тогда вектор a имеет координаты
  • длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
    А i j 3k тогда вектор a имеет координаты
  • тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

  • А i j 3k тогда вектор a имеет координаты
  • А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:Задача 2 из проекта демоверсии ЕГЭ 2024 по профильной математикеСкачать

Задача 2 из проекта демоверсии ЕГЭ 2024 по профильной математике

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:ЕГЭ ПРОФИЛЬ ЗАДАНИЕ 2 Найдите координаты вектора с (х; у), если с = а - 1,5б . В ответ х*уСкачать

ЕГЭ ПРОФИЛЬ ЗАДАНИЕ 2 Найдите координаты вектора с (х; у), если с = а - 1,5б . В ответ х*у

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

  1. Антикоммутативность
    А i j 3k тогда вектор a имеет координаты
  2. Свойство дистрибутивности
    А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты
Сочетательное свойство
А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Затем векторное произведение:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Вычислим его длину:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Видео:90. Координаты вектораСкачать

90. Координаты вектора

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

А i j 3k тогда вектор a имеет координаты

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

🎦 Видео

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты

Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Профильный ЕГЭ 2024. Векторы. Координатная плоскость. Задача 2Скачать

Профильный ЕГЭ 2024. Векторы. Координатная плоскость. Задача 2

Задание 2 | ЕГЭ 2024 Математика (профиль) | ВекторыСкачать

Задание 2 | ЕГЭ 2024 Математика (профиль) | Векторы

егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

егэ векторы решу егэ все задания №2 профиль
Поделиться или сохранить к себе: