Как найти длину дуги окружности через хорду

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Как найти длину дуги окружности через хордуСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Длина дуги сегмента круга по хорде и высоте — онлайн-калькулятор

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Формулы расчета длины дуги

Длина дуги вычисляется по стандартной формуле (1), однако в этом расчете все переменные неизвестны, соответственно их нужно вывести из других формул геометрии круга. Радиус круга (4) выражается через формулы хорды (2) и высоты сегмента (3), по этим же формулам можно получить значение угла сегмента (5).

R = h/2 + W 2 /(8 × h) (4)
α = 2 × arcsin[W / (2 × R)] (5)

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.Как найти длину дуги окружности через хорду

  • Окружность — линия, ограничивающая круг.
  • Дуга — часть окружности.
  • Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
  • Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
  • Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
  • Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

  • R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);Как найти длину дуги окружности через хорду
  • D — диаметр круга — двойной радиус;
  • C — длина окружности;
  • L — длина дуги;
  • X — длина хорды;
  • H — высота сегмента;
  • φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
  • Как найти длину дуги окружности через хорду— площадь круга;
  • Как найти длину дуги окружности через хорду— площадь сектора;
  • Как найти длину дуги окружности через хорду— площадь сегмента.

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

  • Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
  • Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
  • Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

Как найти длину дуги окружности через хорду; длина хорды Как найти длину дуги окружности через хорду;
высота сегмента Как найти длину дуги окружности через хорду; центральный угол Как найти длину дуги окружности через хорду.

2. Даны диаметр D и длина хорды X

Как найти длину дуги окружности через хорду; длина дуги Как найти длину дуги окружности через хорду;
высота сегмента Как найти длину дуги окружности через хорду; центральный угол Как найти длину дуги окружности через хорду.

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол Как найти длину дуги окружности через хорду.

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

Как найти длину дуги окружности через хорду; длина дуги Как найти длину дуги окружности через хорду;
длина хорды Как найти длину дуги окружности через хорду; высота сегмента Как найти длину дуги окружности через хорду.

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

Как найти длину дуги окружности через хорду; длина дуги Как найти длину дуги окружности через хорду;
длина хорды Как найти длину дуги окружности через хорду; центральный угол Как найти длину дуги окружности через хорду.

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

Как найти длину дуги окружности через хорду; диаметр Как найти длину дуги окружности через хорду;
длина хорды Как найти длину дуги окружности через хорду; высота сегмента Как найти длину дуги окружности через хорду.

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

Как найти длину дуги окружности через хорду; длина дуги Как найти длину дуги окружности через хорду;
диаметр Как найти длину дуги окружности через хорду; высота сегмента Как найти длину дуги окружности через хорду.

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

Как найти длину дуги окружности через хорду; длина дуги Как найти длину дуги окружности через хорду;
диаметр Как найти длину дуги окружности через хорду; центральный угол Как найти длину дуги окружности через хорду.

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

Как найти длину дуги окружности через хорду; диаметр Как найти длину дуги окружности через хорду;
длина дуги Как найти длину дуги окружности через хорду; длина хорды Как найти длину дуги окружности через хорду.

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
Как найти длину дуги окружности через хорду; — в варианте 5
Как найти длину дуги окружности через хорду; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности Как найти длину дуги окружности через хорду;
площадь круга Как найти длину дуги окружности через хорду;
площадь сектора Как найти длину дуги окружности через хорду;
площадь сегмента Как найти длину дуги окружности через хорду;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

🌟 Видео

+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Что такое круг окружность радиусСкачать

Что такое круг окружность радиус

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Как измерить радиус детали по длине хорды и высоте сегментаСкачать

Как измерить радиус детали по длине хорды и высоте сегмента

Как правильно согнуть трубу под теплицу.Скачать

Как правильно согнуть трубу под теплицу.

Фермы больше не нужны! Тестируем дуги из профильной трубы / Результат удивил!Скачать

Фермы больше не нужны! Тестируем дуги из профильной трубы / Результат  удивил!

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: