- Nav view search
- Navigation
- Search
- Линейные комбинации, линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.
- В параллелограмме ABCD К ∈ AD, причем AK/KD = 1/2, Р — середина АВ. Выразите вектор через векторы BP и BC
- Ваш ответ
- решение вопроса
- Похожие вопросы
- На стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 ad
- 🔥 Видео
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
Видео:№783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=3:1. ВыразитеСкачать
Линейные комбинации, линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Система векторов $a_1, a_2, . a_n$ называется линейно зависимой, если существуют числа $lambda_1, lambda_2, . lambda_n$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $lambda_1 a_1+lambda_2 a_2+. +lambda_n a_n=0.$ В противном случае система называется линейно независимой.
Два вектора $a_1$ и $a_2$ называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.
Три вектора $a_1, a_2$ и $a_3$ называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.
Геометрические критерии линейной зависимости:
а) система $$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1$ и $a_2$ коллинеарны.
б) система $$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1,, a_2$ и $a_3$ компланарны.
Примеры.
2.19.
Разложить вектор $s=a+b+c$ по трем некомпланарным векторам: $p=a+b-2c,$ $q=a-b,$ $r=2b+3c.$
Решение.
Найдем такие $alpha, beta$ и $gamma,$ что $s=alpha p+beta q+gamma r:$
Из этого равенства, приравнивая коэффициенты при $a, b$ и $c$ получаем систему уравнений: $$left<begin1=alpha+beta\ 1=alpha-beta+2gamma\ 1=-2alpha+3gammaendright.$$
Решим эту систему уравнений методом Крамера:
Таким образом, $s=frac p+frac q+fracr.$
Ответ: $s=frac p+frac q+fracr.$
Доказать, что для любых заданных векторов $а,, b $ и $c$ векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ компланарны.
Доказательство.
Cистемы векторов $; ,,,,, $ являются компланарными поскольку они линейно зависимы: $a+b-(a+b)=0; ,,$ $b+c-(b+c)=0;,,$ $ -c+a+(c-a)=0.$ Отсюда следует, что если вектора $а,, b $ и $c$ компланарны, то векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ также компланарны.
Пусть векторы $a, b$ и $c$ не компланарны.
Так как векторы $a_1,, a_2$ и $a_3$ компланарны в том и только том случае, когда система $$ линейно зависима, то нам нужно показать, что система векторов $a+b,,, b+c,,, c-a$ линейно зависима. Для этого покажем, что существуют числа $alpha,, beta$ и $gamma$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $alpha(a+b)+beta(b+c)+gamma(c-a)=0.$
Предположим противное: вектора $a+b,,, b+c,,, c-a$ некомпланарны. Тогда равенство $alpha(a+b)+beta(b+c)+gamma(c-a)=0$ верно только в случае $alpha=beta=gamma=0$
Запишем последнее уравнение в виде $a(alpha-gamma)+b(alpha+beta)+c(beta+gamma)=0.$ Так как мы рассматриваем случай когда векторы $a, b$ и $c$ некомпланарны, то должны выполняться уравнения
Это вырожденная система: $$begin1&0&-1\1&1&0\0&1&1end=0,$$
поэтому данная система имеет нетривиальное решение, например $alpha=gamma=1;,,beta=-1.$ Получили противоречие.
Таким образом, для любых заданных векторов $а,, b $ и $c$ векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ компланарны. Что и требовалось доказать.
Домашнее заданее.
№2.18
На стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ отложен вектор $overline$ длины $|overline|=1/5|overline|,$ а на диагонали $AC$ вектор $overline$ длины $|overline|=1/6|overline|$ . Доказать, что векторы $overline$ и $overline$ коллинеарны и найти $lambda$ такое, что $overline=lambdaoverline.$
№2.20
Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: $p=a+b,, q=b-c,,r=a-b+c,, s=b+1/2c.$
Видео:№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать
В параллелограмме ABCD К ∈ AD, причем AK/KD = 1/2, Р — середина АВ. Выразите вектор через векторы BP и BC
Видео:1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать
Ваш ответ
Видео:№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать
решение вопроса
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,989
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
На стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 ad
Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K — середина стороны AB. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Проведём FK параллельно AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD является биссектрисой угла ADC.
🔥 Видео
Точка E середина стороны AD параллелограмма ABCDСкачать
Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать
Найдите вершину A параллелограмма ABCD, если B(3; −4; 7), C(−5; 3; −2) и D(1; 2; −3)Скачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
№784. В паралеллограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М— точка на стороне AD, такая,Скачать
Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать
егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать
№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать
№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать
Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать
№771. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке ОСкачать
Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать