На стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 ad

Математический портал

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.
  • Вы здесь:
  • Home

На стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 adНа стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 adНа стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 adНа стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 adНа стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 ad

Видео:№783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=3:1. ВыразитеСкачать

№783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=3:1. Выразите

Линейные комбинации, линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Система векторов $a_1, a_2, . a_n$ называется линейно зависимой, если существуют числа $lambda_1, lambda_2, . lambda_n$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $lambda_1 a_1+lambda_2 a_2+. +lambda_n a_n=0.$ В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора $a_1$ и $a_2$ называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора $a_1, a_2$ и $a_3$ называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система $$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1$ и $a_2$ коллинеарны.

б) система $$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1,, a_2$ и $a_3$ компланарны.

Примеры.

2.19.

Разложить вектор $s=a+b+c$ по трем некомпланарным векторам: $p=a+b-2c,$ $q=a-b,$ $r=2b+3c.$

Решение.

Найдем такие $alpha, beta$ и $gamma,$ что $s=alpha p+beta q+gamma r:$

Из этого равенства, приравнивая коэффициенты при $a, b$ и $c$ получаем систему уравнений: $$left<begin1=alpha+beta\ 1=alpha-beta+2gamma\ 1=-2alpha+3gammaendright.$$

Решим эту систему уравнений методом Крамера:

Таким образом, $s=frac p+frac q+fracr.$

Ответ: $s=frac p+frac q+fracr.$

Доказать, что для любых заданных векторов $а,, b $ и $c$ векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ компланарны.

Доказательство.

Cистемы векторов $; ,,,,, $ являются компланарными поскольку они линейно зависимы: $a+b-(a+b)=0; ,,$ $b+c-(b+c)=0;,,$ $ -c+a+(c-a)=0.$ Отсюда следует, что если вектора $а,, b $ и $c$ компланарны, то векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ также компланарны.

Пусть векторы $a, b$ и $c$ не компланарны.

Так как векторы $a_1,, a_2$ и $a_3$ компланарны в том и только том случае, когда система $$ линейно зависима, то нам нужно показать, что система векторов $a+b,,, b+c,,, c-a$ линейно зависима. Для этого покажем, что существуют числа $alpha,, beta$ и $gamma$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $alpha(a+b)+beta(b+c)+gamma(c-a)=0.$

Предположим противное: вектора $a+b,,, b+c,,, c-a$ некомпланарны. Тогда равенство $alpha(a+b)+beta(b+c)+gamma(c-a)=0$ верно только в случае $alpha=beta=gamma=0$

Запишем последнее уравнение в виде $a(alpha-gamma)+b(alpha+beta)+c(beta+gamma)=0.$ Так как мы рассматриваем случай когда векторы $a, b$ и $c$ некомпланарны, то должны выполняться уравнения

Это вырожденная система: $$begin1&0&-1\1&1&0\0&1&1end=0,$$

поэтому данная система имеет нетривиальное решение, например $alpha=gamma=1;,,beta=-1.$ Получили противоречие.

Таким образом, для любых заданных векторов $а,, b $ и $c$ векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ компланарны. Что и требовалось доказать.

Домашнее заданее.

№2.18

На стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ отложен вектор $overline$ длины $|overline|=1/5|overline|,$ а на диагонали $AC$ вектор $overline$ длины $|overline|=1/6|overline|$ . Доказать, что векторы $overline$ и $overline$ коллинеарны и найти $lambda$ такое, что $overline=lambdaoverline.$

№2.20

Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: $p=a+b,, q=b-c,,r=a-b+c,, s=b+1/2c.$

В параллелограмме ABCD К ∈ AD, причем AK/KD = 1/2, Р — середина АВ. Выразите вектор через векторы BP и BC

Видео:1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

1. Векторы и параллелограмм задачи №1

Ваш ответ

Видео:№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

решение вопроса

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,989
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

На стороне ad параллелограмма abcd отложен вектор ak длины ak 1 5 ad

Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K — середина стороны AB. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

Проведём FK параллельно AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD является биссектрисой угла ADC.

🔥 Видео

Точка E середина стороны AD параллелограмма ABCDСкачать

Точка E середина стороны AD параллелограмма ABCD

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

Найдите вершину A параллелограмма ABCD, если B(3; −4; 7), C(−5; 3; −2) и D(1; 2; −3)Скачать

Найдите вершину A параллелограмма ABCD, если B(3; −4; 7), C(−5; 3; −2) и D(1; 2; −3)

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

№784. В паралеллограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М— точка на стороне AD, такая,Скачать

№784. В паралеллограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М— точка на стороне AD, такая,

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

егэ векторы решу егэ все задания №2 профиль

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

№771. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке ОСкачать

№771. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов
Поделиться или сохранить к себе: