360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Сумма углов четырехугольника

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Какое из следующих утверждений верно?

1) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.» — верно, по теореме о сумме углов выпуклого многоугольника сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2). Следовательно, сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

2) «Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.» — неверно, Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

3) «Любой параллелограмм можно вписать в окружность.» — неверно, в окружность можно вписать только четырёхугольник, сумма противоположенных углов которого равна 180°.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьТеорема Птолемея

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограмма360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Докажем, что справедливо равенство:

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность

откуда вытекает равенство:

360 градусов сумма углов четырехугольника вписанного в окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

🔍 Видео

Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 классСкачать

Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 класс

Геометрия Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих угловСкачать

Геометрия Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

угол a четырёхугольника abcd вписанного в окружность равен 46Скачать

угол a четырёхугольника abcd вписанного в окружность равен 46

Задание 24 Сумма углов четырехугольникаСкачать

Задание 24  Сумма углов четырехугольника

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.Скачать

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.

Задача 6 №27927 ЕГЭ по математике. Урок 142Скачать

Задача 6 №27927 ЕГЭ по математике. Урок 142

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрияСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4
Поделиться или сохранить к себе: