Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Векторы: третий уровень сложности

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Содержание
  1. Что за коллинеарность
  2. Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов
  3. Как определять неколлинеарность
  4. Что из этого нужно запомнить
  5. Что дальше
  6. Сумма и разность векторов
  7. Сумма векторов
  8. Формула сложения векторов
  9. Свойства сложения векторов
  10. Разность векторов
  11. Формула вычитания векторов
  12. Примеры задач
  13. Начертить два неколлинеарных вектора a и b, нужно построить вектор С если : 1)с = 2а + 3б 2)с = а — 3б?
  14. Могут ли векторы a и ka быть неколлинеарными?
  15. Даны 2 неколлинеарных вектора а и b построить 2b — a?
  16. Даны неколлинеарные векторы a и b постройте вектор с если с = a — 3b?
  17. Даны три неколлинеарных вектора a, b, c Начертите, пожалуйста, как построить : а)А + б — с б) — 2а — б + 3с в) а + 2б — 1 / 2с?
  18. Familiarity и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам?
  19. В параллелограме ABCD M и N — середины сторон BC и CD, вектор АВ = вектору а, вектор AD = вектору b?
  20. Начертите попарно три неколлинеарные векторы a, b и c?
  21. Начертите неколлинеарные векторы а и в с разными началами и постройте их сумму по правилу параллелограмма?
  22. Начертите неколлинеарные векторы m и n и постройте вектор равный 3m — 1 / 2n?
  23. Начертите неколлинеарные векторы p и q и постройте вектор равный 2p + 1 / 3q (ПЖ срочно)?

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3бКоллинеарные векторы Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3бНеколлинеарные векторы

Видео:№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½yСкачать

№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½y

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3бМы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3бТеперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Вычисляем значение λ:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Сравниваем результат и делаем вывод:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Считаем значение и сравниваем результат:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Видео:№777. Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадают.Скачать

№777. Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадают.

Что из этого нужно запомнить

  • С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
  • Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
  • Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
  • Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Видео:№741. Начертите два неколлинеарных вектора а и b. Изобразите несколько векторов:Скачать

№741. Начертите два неколлинеарных вектора а и b. Изобразите несколько векторов:

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <ax + bx; ay + by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> «> a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> » data-order=» a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> «> a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <ax — bx; ay — by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> «> a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> » data-order=» a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> «> a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn>

Видео:8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторов

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Начертить два неколлинеарных вектора a и b, нужно построить вектор С если : 1)с = 2а + 3б 2)с = а — 3б?

Геометрия | 5 — 9 классы

Начертить два неколлинеарных вектора a и b, нужно построить вектор С если : 1)с = 2а + 3б 2)с = а — 3б.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Начертить два неколлинеарных вектора a и b, нужно построить вектор С если :

РЕШЕНИЕ на рисунке.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Могут ли векторы a и ka быть неколлинеарными?

Могут ли векторы a и ka быть неколлинеарными?

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Даны 2 неколлинеарных вектора а и b построить 2b — a?

Даны 2 неколлинеарных вектора а и b построить 2b — a.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:№775. Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадаютСкачать

№775. Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадают

Даны неколлинеарные векторы a и b постройте вектор с если с = a — 3b?

Даны неколлинеарные векторы a и b постройте вектор с если с = a — 3b.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)

Даны три неколлинеарных вектора a, b, c Начертите, пожалуйста, как построить : а)А + б — с б) — 2а — б + 3с в) а + 2б — 1 / 2с?

Даны три неколлинеарных вектора a, b, c Начертите, пожалуйста, как построить : а)А + б — с б) — 2а — б + 3с в) а + 2б — 1 / 2с.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:Сумма и разность векторов. Урок 2. Геометрия 9 классСкачать

Сумма и разность векторов. Урок 2. Геометрия  9 класс

Familiarity и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам?

Familiarity и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

В параллелограме ABCD M и N — середины сторон BC и CD, вектор АВ = вектору а, вектор AD = вектору b?

В параллелограме ABCD M и N — середины сторон BC и CD, вектор АВ = вектору а, вектор AD = вектору b.

Б)Доказать, что векторы а и b коллинеарны или неколлинеарны ; векторы DB и NM коллинеарны или неколлинеарны.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:Скачать

№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:

Начертите попарно три неколлинеарные векторы a, b и c?

Начертите попарно три неколлинеарные векторы a, b и c.

Постройте вектор p.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:Сложение неколлинеарных векторов.Скачать

Сложение неколлинеарных векторов.

Начертите неколлинеарные векторы а и в с разными началами и постройте их сумму по правилу параллелограмма?

Начертите неколлинеарные векторы а и в с разными началами и постройте их сумму по правилу параллелограмма.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Начертите неколлинеарные векторы m и n и постройте вектор равный 3m — 1 / 2n?

Начертите неколлинеарные векторы m и n и постройте вектор равный 3m — 1 / 2n.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Видео:Построить разность векторов.Скачать

Построить разность векторов.

Начертите неколлинеарные векторы p и q и постройте вектор равный 2p + 1 / 3q (ПЖ срочно)?

Начертите неколлинеарные векторы p и q и постройте вектор равный 2p + 1 / 3q (ПЖ срочно).

Вы зашли на страницу вопроса Начертить два неколлинеарных вектора a и b, нужно построить вектор С если : 1)с = 2а + 3б 2)с = а — 3б?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Ответ и решение на фото .

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Скинь рисунок пожалуйста.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

4a ^ 2 = d1 ^ 2 + d2 ^ 2a ^ 2 = (256 + 144) / 4 = 100a = 10смSп. П. / 2 = (2Sосн + 4Sбок) / 22Sосн = d1 * d2 = 192см ^ 24Sбок = 4 * 10 * 10 = 400см ^ 2Sп. П. / 2 = (192 + 400) / 2 = 296см ^ 2.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Нехай к — х. За теоремою Піфагора : (5х)² + 24² = (13х)² 25х² + 576 = 169х² 144х² = 576 х² = 4 х = 2 Р = 5х + 24 + 13х = 18х + 24 = 36 + 24 = 60 см Відповідь : 60 см.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Решение в прикрепленном файле.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

4. треугольник АВС = треугольнику АСD (т. К. они имеют общую сторону АС, а противоположные стороны параллелограмма равны (AB = DC и AD = BC)) т. К. FC = EA (по условию), а AB = DC, то BE = DF что и т. Д.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Х + 432 = 50000 х = 50000 — 432 х = 49568 Ответ : 49586 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — с — 806 = 194 с = 806 + 194 с = 1000 Ответ : 1000 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 35303 — m = 6666 m = 35303 — 6666 m = 28637 Ответ : 28637.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является СК. Тогда половина диагонали равняется √225 — 25 = √200 = 10√2. Сторона равняется 2 d / 2 / √2 = 20√2 / √2 = 20. Сторона квадрата = 20 см. Удачи ; ).

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Х — один угол, у — другой х + у = 180 х — у = 14 Отсюда 2х = 194 х = 97 у = 180 — 97 = 83.

Задать два неколлинеарных вектора и построить сумму векторов 2а 3б

Прямоугольник или параллелограм, квадрат. Короче не трапеция.

Поделиться или сохранить к себе: