Задачи на векторы с треугольника

Примеры решений по векторной алгебре

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Векторная алгебра для чайников

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач по векторной алгебре: вектора, углы, взаимное расположение на плоскости и пространстве, базис из векторов, действия с векторами и т.п.

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Решения задач с векторами

Задача 1. На оси $Ох$ найти точку, равноудаленную от точек $А(2;-4;5)$ и $В(-3;2;7)$.

Задача 2. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами $AB$ и $AC$.

Задача 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 5. Компланарны ли вектора $a, b, c$? $$a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4)$$

Задача 6. Заданы два вектора в пространстве. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
$a=(0;1;1), b=(-2;0;1).$

Задача 7. Сила $F$ приложена к точке $А$. Вычислить:
а) работу силы $F$ в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку $В$;
b) модуль момента силы $F$ относительно точки $В$.

Задача 8. Найти ранг и базис системы векторов, перейти к новому базису. Записать разложения векторов по найденным базисам.

Задача 11. Написать разложение вектора $bar$ по векторам $bar, bar, bar$.

Задача 13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $bar

$, $bar$.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Задачник «Векторный метод решения задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на векторы с треугольника

Задачник «Векторный метод решения задач»

Составила: Казакова Ольга Сергеевна,

учитель математики МОУ «СОШ № 75» г. Саратова.

Данный задачник предназначен для изучения тем: «Векторы», «Действия с векторами», «Векторный метод решения задач». Инструктивное изложение материала, при постоянной практической пробе, даёт возможность изучить темы самостоятельно.

1.Заполните таблицу. Основные понятия.

Решение и изображение

1)На плоскости отметьте точки A и B , постройте отрезок AB ;

2)На отрезке AB пусть точка A будет началом, а точка B – концом. Укажите стрелкой в конце отрезка направление из начала в конец. Вы получили отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, то есть получили направленный отрезок или вектор .

3)Построен вектор Задачи на векторы с треугольника, его можно обозначить и однострочной латинской буквой, например, Задачи на векторы с треугольника, которая записывается над изображением вектора.

Сколько векторов можно провести, выбирая начало и конец среди данных на плоскости:

2)трёх точек, не лежащих на одной прямой;

3)четырёх точек, не лежащих на одной прямой?

Отметьте на плоскости любую точку и обозначьте её, например, заглавной буквой M . Вы построили нулевой вектор, его начало и конец совпадают.

Обозначение нулевого вектора: Задачи на векторы с треугольникаили символом Задачи на векторы с треугольника.

1)Постройте отрезок AB , длина которого 4 см;

2)Постройте вектор Задачи на векторы с треугольника.

Длиной или модулем ненулевого вектора Задачи на векторы с треугольниканазывается длина отрезка AB .

Обозначение: Задачи на векторы с треугольника= AB = 4.

Чему равна длина нулевого вектора?

3)Постройте вектор Задачи на векторы с треугольника, длиной 7 см.

1)Постройте параллельные прямые p и m .

2)На прямой p постройте:

а)вектор Задачи на векторы с треугольника, произвольной длины и направления;

б)вектор Задачи на векторы с треугольника, произвольной длины и направления;

3)На прямой m постройте: вектор Задачи на векторы с треугольника, произвольной длины и направления.

Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

4)Выпишите попарно коллинеарные векторы.

5)Постройте и обозначьте два произвольных вектора, которые являются не коллинеарными вектору Задачи на векторы с треугольника. Будут ли они являться коллинеарными векторам Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника?

Постройте два коллинеарных вектора.

Полученные векторы направлены одинаково или противоположно?

Если одинаково, то вы построили сонаправленные векторы. Обозначение:

Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника.

Если противоположно, то вы построили противоположно направленные векторы. Обозначение: Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника.

Начертите параллелограмм ABCD . Проведите векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя вершинами параллелограмма. Сколько существует пар векторов, которые являются:

1)коллинеарными друг другу;

Постройте векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника, так, чтобы:

1) Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника;

2) Задачи на векторы с треугольника.

Вы построили равные векторы.

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

2.Заполните таблицу. Операции над векторами.

Решение и изображение

На плоскости произвольно выберите точку A , приняв её за начало, проведите вектор Задачи на векторы с треугольника, произвольной длины и направления. Таким образом, вы отложили вектор Задачи на векторы с треугольникаот точки A .

Можно отложить от другой точки плоскости, вектор, равный данному вектору Задачи на векторы с треугольника?

Допустим, что вектор Задачи на векторы с треугольниканенулевой, а точки A и B – его начало и конец.

1)Через произвольно взятую точку M плоскости проведите прямую p , параллельную AB (если M – точка прямой AB , то в качестве прямой p возьмём саму прямую AB ).

2)На прямой p отложите два противоположно направленных вектора Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника, длины которых равны отрезку AB .

Среди построенных векторов выберите тот, что сонаправлен с вектором Задачи на векторы с треугольника, он и будет являться искомым вектором, равным вектору Задачи на векторы с треугольника. К тому же такой вектор только один, что следует из построения.

А если вектор Задачи на векторы с треугольника– нулевой? Ответьте самостоятельно.

Итак, от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору Задачи на векторы с треугольника, и при том только один.

1)Векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника.

2)Произвольная точка A .

3)От точки A отложите вектор Задачи на векторы с треугольника, равный вектору Задачи на векторы с треугольника.

4)От точки B отложите вектор Задачи на векторы с треугольника, равный вектору Задачи на векторы с треугольника.

5)Вектор Задачи на векторы с треугольника.

Вы, таким образом, выполнили построение сложения векторов Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникапо правилу треугольника . Вектор Задачи на векторы с треугольниканазывается суммой векторов Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника.

Докажем, что если Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника, то Задачи на векторы с треугольника.

Рассмотрим случай, когда точки A , B , Задачи на векторы с треугольника, точки B , C , Задачи на векторы с треугольникаи точки A , C , Задачи на векторы с треугольникане лежат на одной прямой (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

а) Задачи на векторы с треугольника;

б) Задачи на векторы с треугольника;

в)Соединим точки A и Задачи на векторы с треугольника, B и Задачи на векторы с треугольника, C и Задачи на векторы с треугольника;

2) Задачи на векторы с треугольникаЗадачи на векторы с треугольника– параллелограмм  Задачи на векторы с треугольника;

3) Задачи на векторы с треугольникаЗадачи на векторы с треугольника– параллелограмм  Задачи на векторы с треугольника;

4)Из 2) и 3)  Задачи на векторы с треугольникаЗадачи на векторы с треугольника– параллелограмм;

5)Значит, Задачи на векторы с треугольника. Доказано.

Вывод: при необходимости можно работать как с данными векторами, так и с равными им.

Законы сложения векторов.

Для любых векторов Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникасправедливы равенства:

Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника(переместительный закон)

Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника(сочетательный закон)

Доказательство законов проведите самостоятельно, опираясь на подсказки:

Для доказательства первого закона можете достроить треугольник до параллелограмма и работать как с самими векторами, так и с равными им.

Для доказательства второго закона достаточно несколько раз применить правило треугольника для сложения векторов, последовательно отложенных от концов предыдущих векторов.

1)Произвольная точка A ;

2)Неколлинеарные векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника;

3) От точки A отложите вектор Задачи на векторы с треугольника, равный вектору Задачи на векторы с треугольника.

4)От точки A отложите вектор Задачи на векторы с треугольника, равный вектору Задачи на векторы с треугольника.

5)Постройте параллелограмм ABCD ;

6) Задачи на векторы с треугольника.

Вы построили сложение векторов Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникапо правилу параллелограмма сложения неколлинеарных векторов.

Как сложить несколько векторов?

Последовательное применение правила треугольника для сложения векторов даёт возможность сложить любое количество векторов. Причём порядок сложения не важен. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: два вектора складываются, получившаяся сумма складывается с третьим и т.д.

Выполните сложение пяти любых векторов, используя то, что несколько векторов можно расположить таким образом: первый вектор откладывается от любой точки, второй – от конца первого и т.д. Сумма всех векторов – вектор, направленный от начала первого вектора к концу последнего.

Вы выполнили построение сложения нескольких векторов, пользуясь правилом многоугольника .

Подумайте, чему будет равна сумма векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего?

Разностью векторов Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольниканазывается такой вектор, сумма которого с вектором Задачи на векторы с треугольникаравна вектору Задачи на векторы с треугольника.

Вектор Задачи на векторы с треугольниканазывается противоположным вектору Задачи на векторы с треугольника, если векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникаимеют равные длины и противоположно направлены. Обозначение: Задачи на векторы с треугольника. Задачи на векторы с треугольника.

Докажите, что Задачи на векторы с треугольника. Для этого воспользуйтесь определением разности векторов и прибавлением к обеим частям равенства вектора.

На прямой p от любой точки O отложите вектор Задачи на векторы с треугольника, от конца вектора Задачи на векторы с треугольникаотложите вектор Задачи на векторы с треугольника. Длина построенного суммарного вектора, равна Задачи на векторы с треугольникаили Задачи на векторы с треугольника.

Произведением ненулевого вектора Задачи на векторы с треугольника на число k называется такой вектор Задачи на векторы с треугольника, длина которого равна Задачи на векторы с треугольника, причём векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникасонаправлены при k  0 и противоположно направлены при k Задачи на векторы с треугольника.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Из определения следует:

1)произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2)для любого числа k и любого вектора Задачи на векторы с треугольникавекторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникаколлинеарны.

Свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел k , l и любых векторов Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольникасправедливы равенства:

Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника(сочетательный закон)

Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника(первый распределительный закон)

Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника(второй распределительный закон)

На прямой p от произвольно выбранной точки O отложите: вектор Задачи на векторы с треугольника, длиной 1 см; вектор Задачи на векторы с треугольника, сонаправленный с вектором Задачи на векторы с треугольника, длиной 2 см; вектор Задачи на векторы с треугольника, противоположно направленный с вектором Задачи на векторы с треугольника, длиной 3 см.

Попробуем выразить векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникачерез вектор Задачи на векторы с треугольника.

Во сколько раз длины этих векторов отличаются от длины вектора Задачи на векторы с треугольника?

Задачи на векторы с треугольника; Задачи на векторы с треугольника;

Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника, т. е. векторы Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникаколлинеарны друг другу, значит, можно воспользоваться леммой.

Если векторы Задачи на векторы с треугольника и Задачи на векторы с треугольника коллинеарны и Задачи на векторы с треугольника, то существует такое число k , что Задачи на векторы с треугольника.

Итак, можем выразить: Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника.

От произвольной точки O отложите векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника– произвольные данные векторы. Если Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольникане являются сонаправленными, то лучи OA и OB образуют угол AOB , градусную меру которого обозначьте буквой α. Будем говорить, что угол между векторами Задачи на векторы с треугольника и Задачи на векторы с треугольникаравен α. Обозначение: Задачи на векторы с треугольника.

Если Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника, то Задачи на векторы с треугольника

Если Задачи на векторы с треугольника, то векторы Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольниканазываются перпендикулярными.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Задачи на векторы с треугольника

Напишите формулу скалярного произведения для случаев, когда:

Задачи на векторы с треугольника;

Задачи на векторы с треугольника;

Задачи на векторы с треугольника.

Сделайте вывод, о том, в каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю.

Напишите формулу скалярного произведения для случая, когда вектор скалярно умножается на себя. В этом случае скалярное произведение называется скалярным квадратом . Обозначение: Задачи на векторы с треугольника.

Итак, перечислите все операции над векторами.

3.Решая задачи, заполните пустые ячейки в таблице.

Задачи на векторы с треугольника

Задачи на векторы с треугольникаk , что Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника

Задачи на векторы с треугольника

Задачи на векторы с треугольника

точки M и N совпадают

точка C принадлежит прямой AB

Задачи на векторы с треугольника, или
Задачи на векторы с треугольника, или Задачи на векторы с треугольника

точка С – середина отрезка AB

точка D разбивает отрезок AC так, что AD : DC = m : n

Заполняя таблицу, вы пользовались векторным методом решения задач.

Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач.

Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.

Далее вам необходимо самостоятельно решать задачи. После решения каждой задачи делайте вывод о её значимости. Если результат задачи возможно использовать для решения других, то заносите его в таблицу № 3. Таким образом, вы получите набор базовых задач, на основании которых решаются более сложные.

1)Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна её половине.

2)Докажите, что средняя линия трапеции параллельна её основанию и её длина равна полусумме длин её оснований.

3)Если средняя линия четырёхугольника равна полусумме длин её оснований (сторон, не имеющих общей точки со средней линией), то этот четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.

4)Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD . Точки E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами AB и CD . Докажите, что отрезок EK параллелен основаниям трапеции.

5)Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Выразите биссектрису через угол треугольника, который она делит пополам, и через стороны этого угла.

6)Если точки M и N делят отрезки AB и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n , то выполняется равенство: Задачи на векторы с треугольника.

7)В треугольнике ABC через M обозначена точка пересечения медиан. Докажите, что Задачи на векторы с треугольника.

8)Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC , O – произвольная точка. Докажите, что Задачи на векторы с треугольника.

9)Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , O – центр описанной окружности. Докажите, что Задачи на векторы с треугольника.

10)Докажите, что три точки A , B , C ( A ≠ B ) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство, Задачи на векторы с треугольника, в котором α+β=1, где O – некоторая точка.

11)Докажите, что центр описанной окружности

12)Докажите, что если точки пересечения диагоналей четырёхугольника и середины двух его противоположных сторон лежат на одной прямой, то этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.

13)Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

14)Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

15)Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

16)Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

17)Докажите, что в произвольном четырёхугольнике средние линии (т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) точкой их пересечения делятся пополам.

18)Найти косинус угла между диагоналями прямоугольника, стороны которого равны a и b .

19)Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

20)Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

21)Докажите, что если в треугольнике длины его сторон a , b , c связаны соотношением Задачи на векторы с треугольника, то угол этого треугольника, лежащий против стороны длины c , — прямой.

22)Даны стороны a , b , c треугольника. Найдите медианы Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника, проведённые к этим сторонам.

23)В треугольнике со сторонами a , b , c найти длину высоты Задачи на векторы с треугольника, опущенную на сторону c .

24)В треугольнике со сторонами a , b , c найти длину биссектрисы Задачи на векторы с треугольника, проведённой к стороне c .

25)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

26)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин её боковых сторон плюс удвоенное произведение длин оснований.

27)Доказать, что большей медиане треугольника соответствует меньшая сторона и обратно.

28)Докажите, диагонали прямоугольника равны между собой.

29)Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

30)В четырёхугольнике ABCD прямая, проведённая через вершину A параллельна стороне BC , пересекает диагональ BD в точке M , а прямая проведённая через вершину B параллельно стороне AD , пересекает диагональ AC в точке N . Докажите, что MN || DC .

31)Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N , и по две в точках A , B , C , D . Докажите, что ABCD – параллелограмм.

32)Пусть K , L , M , N – середины отрезков AB , BC , CD , DE пятиугольника ABCDE , а точки P и Q – середины отрезков KM и LN соответственно. Докажите, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и параллелен ей.

33)В плоскости даны четырёхугольник ABCD и точка M . Докажите, что точки, симметричные точке M относительно середин сторон этого четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.

34)На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, такие, что AM : AC = CN : CE = λ. Известно, что точки B , M , N лежат на одной прямой. Найдите λ.

35)Дан параллелограмм ABCD ( AD || BC , AB || CD ). На стороне AD выбрана точка K , а на AC – точка L так, что 5 AK = AD , 6 AL = AC . Докажите, что KL || BL и найдите отношение их длин.

36)Точки M и K на сторонах AB и BC треугольника ABC таковы, что AM : MB =3:4, CK : KB =2:3. Отрезки AK и CM пересекаются в точке N . Найдите отношение AN : NK .

37)Точка K на стороне AC и точки L , M на стороне BC треугольника ABC таковы, что AK : KC = CL : LB = BM : MC =1:2, N – середина стороны AC . Найти отношение, в котором точка пересечения отрезков KL и MN делит отрезок KL .

38)Через середину E медианы Задачи на векторы с треугольникатреугольника ABC проведена прямая AE , пересекающая сторону BC в точке F . Вычислить: AE : EF и CF : FB .

39)Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит сторону AD в отношении p , т. е. AM : MD = p ; точка N делит сторону DC в отношении q , т. е. DN : NC = q . Прямые BM и AN пересекаются в точке S . Вычислить отношения AS : SN и BS : SM .

40)В параллелограмме ABCD сторона AD разделена на n равных частей и первая точка деления M (считая от A ) соединена с B . В каком отношении делит точка N диагональ AC и отрезок MB ?

41)В треугольнике ABC проведена медиана CM . Прямая l пересекает отрезки CA , CM , CB в точках Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольникасоответственно. Докажите равенство Задачи на векторы с треугольника.

42)На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки M и D так, что AM = Задачи на векторы с треугольникаAC , BD = Задачи на векторы с треугольникаBC , а на прямой AD – точка N так, что AN = Задачи на векторы с треугольникаAD . Доказать, что точки M , N и B лежат на одной прямой. Какую часть от отрезка MB составляет отрезок MN ?

43)На стороне AD и диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что AM = Задачи на векторы с треугольникаAD , AN = Задачи на векторы с треугольникаAC . Доказать, что точки M , N и B лежат на одной прямой. В каком отношении делит точка N отрезок MB ?

44)На стороне AB треугольника ABC дана точка P , через которую проведены прямые параллельно его медианам A Задачи на векторы с треугольникаи A Задачи на векторы с треугольникаи пересекающие соответственно стороны треугольника в точках Задачи на векторы с треугольникаи Задачи на векторы с треугольника. Докажите, что середина отрезка Задачи на векторы с треугольника(точка E ), а также точка P и точка G пересечения медиан треугольника лежат на одной прямой и найдите отношение длин отрезков EG и EP .

45)Докажите, что точки пересечения диагоналей трапеции, боковых сторон, а также середины оснований лежат на одной прямой.

46)Через точку P – внутреннюю точку параллелограмма ABCD – проведены прямая KM || AD и прямая LN || AB , пересекающие стороны AB , BC , CD , DA параллелограмма в точках K , L , M , N соответственно. Q – точка пересечения средних линий четырёхугольника KLMN , S – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD . Докажите, что Q – середина отрезка PS .

47)Пусть Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника, Задачи на векторы с треугольника– середины сторон BC , AC , AB треугольника ABC . Доказать, что точки пересечения медиан треугольника ABC и треугольника Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольника Задачи на векторы с треугольникасовпадают.

48)Пусть ABCDEF – произвольный шестиугольник и U , V , W , X , Y , Z – середины его сторон. Докажите, что центры тяжести (т. е. точки пересечения медиан) треугольника UWY и треугольника VXZ совпадают.

49)Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, и продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в одной точке.

50)На сторонах параллелограмма заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры этих параллелограммов совпадают.

51)На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.

52)В треугольнике ABC длины сторон связаны соотношением Задачи на векторы с треугольника. Докажите, что медианы, проведённые к сторонам AC и BC , взаимно перпендикулярны.

53)Найдите косинус угла между медианами прямоугольного равнобедренного треугольника, проведёнными к его катетам.

54)Найти косинус угла между медианами равнобедренного треугольника, проведёнными к его боковым сторонам, при условии, что угол при вершине равен α.

55)Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к его боковым сторонам, а) перпендикулярны; б) образую угол Задачи на векторы с треугольника.

56)В треугольнике две стороны равны 2 и 4, а угол между ними равен Задачи на векторы с треугольника. Найти угол ψ между короткой стороной и медианой, проведённой к третьей стороне.

57)В окружности с центром O радиуса r вписан четырёхугольник ABCD . Доказать, что если Задачи на векторы с треугольника, то диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны.

58)В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC . Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN прямой.

59)На стороне AB треугольника ABC с углом ABC , равным α , расположена точка K , причём AK = BC . Пусть P – середина BK , M – середина AC . Найдите угол APM .

60)Точка K – середина стороны AB квадрата ABCD , а точка M лежит на диагонали AC , причём AM : MC = 3 : 1. Докажите, что угол KMD равен Задачи на векторы с треугольника.

61)На сторонах AB и AC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты AMNB и CKLA . Докажите, что медиана AP треугольника ABC перпендикулярна прямой ML .

62)На стороне AB треугольника ABC дана точка D . Выразить расстояние CD через длины сторон данного треугольника a , b , c и расстояния AD = m и DB = n .

63)Выразить расстояние от заданной точки O до точки M пересечения медиан треугольника ABC через длины сторон треугольника BC = a , AC = b , AB = c и расстояния от точки O до вершин треугольника OA = Задачи на векторы с треугольника, OB = Задачи на векторы с треугольника, OC = Задачи на векторы с треугольника.

64)В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC , а точка M – середина стороны CD . Найдите AD , если AK = 6, AM = 3,  KAM = Задачи на векторы с треугольника.

Список использованной литературы

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. – М.: Просвещение, 2009.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Шестаков С.А., Юдина И.И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач. – Минск: Вышэйш. школа, 1965.

Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия 7-9 кл. – М.: МЦНМО, 2006.

Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1979.

Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. – М.: Просвещение, 1992.

Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal. – Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008.

Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7 – 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – М.: Дрофа, 2001.

Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

Шестаков С. А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. – М.: МЦНМО, 2005.

📸 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать

Урок 11. Решение задач на действия с векторами

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольника

ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс АтанасянСкачать

ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс Атанасян

Полный разбор задач с векторами №2 ЕГЭ ПРОФИЛЬ 2024 | Профильная математика ЕГЭ 2024 | УМСКУЛСкачать

Полный разбор задач с векторами №2 ЕГЭ ПРОФИЛЬ 2024 | Профильная математика ЕГЭ 2024 | УМСКУЛ

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

РАЗБИРАЕМ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ II 😊#shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

РАЗБИРАЕМ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ II 😊#shorts #математика #егэ #задачи  #егэ2022 #огэ2022

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)
Поделиться или сохранить к себе: