Докажите что через две различные параллельные прямые можно провести только одну плоскость

• Главная
• Репетиторы
• Учебные материалы
• Контакты

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

1. Основные фигуры стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства в пространстве. Основные фигуры в пространстве — это точка, прямая, плоскость. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ.

Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом.

Видео:10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

2. Группа дополнительных аксиом стереометрии

1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей.

2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.

Рис. 1. Аксиомы стереометрии.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Пример

Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке.

Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).

точка Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)

Тогда плоскости α и γ пересекаются по прямой b.

Отсюда следует, что, т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е₁.

Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е₁.

Отсюда можно сделать вывод, что точка Е₁ принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е₁, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е₁ совпадают.

Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку

Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.

Доказательство.

Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.

Если допустить, что существует еще одна плоскость α’, проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная.

Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

4. Пересечение прямой с плоскостью

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.

Доказательство.

Пусть а — данная прямая, А и В принадлежащие этой прямой точки, α — данная плоскость. Точки А и В принадлежат плоскости α. Согласно аксиоме 1, существует точка С, не лежащая на прямой а. (Рис.4)

Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а’. Таким образом, имеем:

точки А и В ∈ а, α
прямая а ∈ β
следовательно, точки А и В ∈β

Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а’, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а’ совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.

Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5

Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.

Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

6.Пример 1

Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть дана данная прямая а и точка О, не принадлежащая прямой а. И даны пересекающие ее прямые b, c, d в точках B, C, D, которые пересекаются в точке О. Проведем через прямую а и точку О плоскость α (Рис.6).

По теореме о пересечении прямой и плоскости, если провести прямую b, проходящую через точку О и точку В прямой а, то она целиком будет принадлежать плоскости α, так как две точки прямой b принадлежат плоскости α.

Если допустить, что прямая b не принадлежит плоскости α, то в этом случае мы можем провести плоскость α’, проходящую через точки В и О. Тогда плоскости α и α’ пересекаются по прямой b’, проходящей через точки В и О. А так как через две точки можно провести только одну прямую, то прямые b и b’ совпадают. Следовательно, прямая b целиком принадлежит плоскости α.

Точно так же доказывается, что прямые с и d принадлежат плоскости α. Отсюда можно сделать вывод, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую.

Пример 2

Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.

Доказательство:

Пусть даны две непересекающиеся плоскости α и α’. И прямая а, которая пересекает плоскость α в точке В (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая а пересекает плоскость α’ в точке В’.

Возьмем на плоскости α’ точку А и проведем через нее и прямую а плоскость β. Тогда плоскость β будет пересекать плоскости α и α’ по параллельным прямым b и b’. Точка В принадлежит прямой b, так как она принадлежит плоскости α и лежит на прямой а. И следовательно, она принадлежит двум плоскостям α и β.

Таким образом получается, что на плоскости β лежат две параллельные прямые b и b’. Одну из них пересекает прямая а в точке В. Следовательно, прямая а пересекает и вторую прямую b’. Так как согласно аксеоме, через точку В, не лежащей на данной прямой b’, можно провести только одну, параллельную прямой b’, прямую b. Отсюда следует, что прямая а не параллельна прямой b’, она ее пересекает в точке B’.

Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости.

Пример 3

Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А (Рис.8). Необходимо доказать, что прямая b пересекает прямую а.

По условию задачи, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А. Следовательно, точка А принадлежит двум плоскостям α и β.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что, так как точка А принадлежит двум плоскостям, то она лежит на прямой а, потому что прямая а является прямой пересечения двух плоскостей α и β.

Таким образом, точка А принадлежит двум прямым а и b. А следовательно, эти прямые пересекаются.

Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 4

Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Точки А, В, С одновременно принадлежат двум плоскостям α и β (Рис.9). Необходимо доказать, что все три точки принадлежат прямой а.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что все три точки А, В и С лежат на прямой пересечения двух плоскостей, т.е. прямой а, так как они принадлежат обоим плоскостям α и β.

Пусть дана точка D, принадлежащая только плоскости β. Тогда она не может лежать на прямой а, так как она не принадлежит плоскости α. Точно так же точка Е не может принадлежать прямой а, так как она принадлежит только плоскости α. Точка F не принадлежит плоскостям α и β, а следовательно, и прямой а.

Отсюда можно сделать вывод, что, если точка принадлежит обоим плоскостям α и β, то она обязательно лежит на прямой а. Так как прямая а — это множество точек, принадлежащих двум пересекающимся плоскостям α и β.

Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей.

Пример 5

Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D. Допустим, что все четыре точки лежат в одной плоскости α.

Прямая АВ не пересекается с прямой CD. Прямая АС также не пересекается с прямой BD. Если провести прямую AD, то точки В и С окажутся в разных полуплоскостях. Следовательно, прямая AD пересекается с прямой ВС в точке О (Рис.10 а).

Допустим, что прямая AB не пересекает прямую DС (Рис.10 б). АD не пересекает прямую BC. Тогда, если провести прямую АС, то точки B и D окажутся в разных полуплоскостях. И прямая АС будет пересекать прямую BD в точке О.

Теперь допустим, что прямая AC не пересекает прямую ВD (Рис.10 в). АD не пересекает прямую ВC. Тогда, если провести прямую АВ, то точки D и C окажутся в разны полуплоскостях. А следовательно, прямая АВ будет пересекать прямую СD в точке О.

Отсюда можно сделать вывод, для того, чтобы выполнялось условие, при котором прямые АВ, АС, АD, одновременно не пересекали бы прямые CD, BD, BC, необходимо чтобы четыре точки А, В, С и D лежали в разных плоскостях.

Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая.

Видео:Стереометрия - это ПРОСТО! Урок 1. Аксиомы Теоремы Задачи. Геометрия 10 классСкачать

Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Скалярное произведение векторов

· Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

· Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

·

· Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

·

· Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

·

· Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Линейное пространство Определение 1. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в

соответствие вполне определенный элемент z R. Указанный элемент z называется суммой элементов х и у и обозначается х + у. Определение 2. Говорят, что на множестве R определена операция умножения элемента на число, если каждому элементу х R и каждому числу ставится в соответствие вполне определенный элементz R. Указанный элемент z называется произведением элемента х на число и обозначается х. Определение 3. Множество R называется линейным пространством, если на нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, причем для любых х, у, z R и любых чисел , β имеют место следующие аксиомы: 1. x + y = y + x ; 2. (x + y) + z = x + (y + z); 3. R : x R x + = x; 4. x R – x R:x + (–x) = ; 5. (x + y) = x + y; 6. ( + β)x = x+βx; 7. (βx) = ( β)x; 8. 1·x = x. Элементы линейного пространства называются векторами. Вектор , упомянутый в аксиоме 3, называется нулевым вектором или нулем. Вектор – х, упомянутый в аксиоме 4, называется противоположным вектору х. Следствия из аксиом линейного пространства 1. Линейное пространство имеет только один нуль. 2. Для каждого вектора существует только один противоположный. 3. x R 0·х = . 4. x R (–1)·х = –х. 5. Для любого числа · = . 6. Если x = , то либо = 0, либоx = . Следствие 2 дает нам возможность ввести Определение 4. Сумма векторов у и –х называется разностью векторов у и х и обозначается у – х. Следует отметить, что операция вычитания векторов выражается через операции сложения векторов и умножения вектора на число у – х = у + (–1)х

Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Доказательство:

1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой bточку A.

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.

🔍 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

02 Способы задания плоскости (следствия из аксиом)Скачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

№57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямаяСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрияСкачать

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 1

1 2 3 4 5 6 7 8