Задачи на отношение площади треугольника к площади четырехугольника (5 видео)

Решение задачи 6. Вариант 234

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки P и Q так, что BP:PA=1:2 и BQ:QC=4:1. Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP к
площади треугольника PBQ.

Вспомним формулу площади треугольника через угол

Пусть ( BP=x ) , тогда ( AB=3x )

Пусть ( BQ=4y ) , тогда ( BC=5y )

Содержание

ОГЭ. Решение. Задание 26, Вариант 1
Задачи на отношение площади треугольника к площади четырехугольника
§2. Площадь треугольника. Метод площадей
🔥 Видео

Видео:Задание 24 Отношение площадей 3 способа решенияСкачать

ОГЭ. Решение. Задание 26, Вариант 1

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

Проведем МТ параллельно АР. Поскольку М – середина АС, МТ – средняя линия треугольника АРС и СТ = ТР.
Аналогично, КР – средняя линия треугольника ВМТ, и ВР = РТ.

Пусть S – площадь треугольника АВС.
Площадь четырехугольника КРСМ равна разности площадей треугольника АВС и треугольников АВМ и ВКР.

Тогда площадь треугольника ВКР в 4 раза меньше площади треугольника ВМТ.
Площадь треугольника ВМТ равна площади треугольника ВМС, то есть площади треугольника АВС. Тогда площадь треугольника ВКР равна площади треугольника АВС.
Площадь треугольника АВМ равна половине площади треугольника АВС.
Тогда площадь четырехугольника КРСМ равна
Отношение площади треугольника АВС к площади четырехугольника КРСМ равно

Видео:Задание 26 Отношение площадей Треугольник ЧетырёхугольникСкачать

Задачи на отношение площади треугольника к площади четырехугольника

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` — углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` — противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` — высоты к этим сторонам; `r` — радиус вписанной окружности;`R` — радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` — периметр треугольника; `S` — площадь треугольника

`S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`,	(1)
`S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`,	(2)
`S=pr`,	(3)
``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` — формула Герона,	(4)
`S=(abc)/(4R)`.	(5)

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь — найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.^$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

$$ 2.^$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

$$ 2.^$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC

DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Точка `M` — середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.^$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.^$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.

Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.

1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.^$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).

2. Через точку `D` проведём прямую `DL«||«AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL«||«AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.

По той же теореме (`/_DCB`, `OK«||«DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.

По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.

Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` — площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.

`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.

Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` — середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.

Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.

Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:

`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.

называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` — точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда