Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

Формулы площадей всех фигур в геометрии — примеры вычислений

Площадь — это одна из наиболее важных и неотъемлемых характеристик любой замкнутой геометрической фигуры, показывающая её размер. Она может измеряться в различных единицах: квадратных миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и так далее. Это своеобразный аналог объёма трёхмерных фигур (шара, цилиндра, конуса и других). В геометрии разработаны формулы площадей. Их доказательством являются соответствующие теоремы. Существует общепринятое обозначение площади — буква S (от англ. square).

Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Формулы для треугольников

Имеется несколько формул площади треугольника. Если в треугольнике известны две величины: во-первых, длина стороны, а во-вторых, высота, опущенная из противоположного угла перпендикулярно этой стороне, то площадь можно определить, умножив длину на высоту и разделив полученное произведение на два. Выглядит формула так: S = ½ * a * h. Буквой a обозначена длина, буквой h — высота.

При известности всех трёх сторон — a, b, c, широко применяется формула, названная в честь Герона — математика из Древней Греции: S = √(p*(p — a)*(p — b)*(p — c)). Величина p — это половина от периметра треугольника (полупериметр). Чтобы его рассчитать, необходимо суммировать все стороны и разделить сумму на два: (a + b + c)/2.

Для ещё одной формулы требуются следующие данные:

  • длина двух соприкасающихся в одной вершине сторон — a и b;
  • градус угла, который образуют эти стороны.

Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

Тогда расчёт можно произвести таким способом: S = ½ * a * b * sin γ. Синус угла является одной из тригонометрических функций, представляющей собой результат деления (отношение) в прямоугольном треугольнике противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе (сторона напротив прямого угла). Значение sin γ для конкретного угла можно посмотреть в специальной таблице.

Когда два треугольника являются подобными (подобие означает, что у них равны углы и стороны пропорциональны), то отношение их площадей соответствует отношению возведённых в квадрат сторон. Такое отношение сторон для них (например, AB: A (1) B (1)) именуется коэффициентом подобия (k). Поэтому отношение площадей равняется коэффициенту подобия в квадрате.

Если в треугольнике даны все стороны, тогда, кроме формулы Герона, есть возможность воспользоваться ещё одним способом. Он основан на том, что можно вписать любой треугольник в круг. Зная такую величину, радиус ® окружности и три стороны треугольника, производится расчёт: S = (a * b * c) / 4 R.

В любой треугольник: равносторонний и разносторонний, остроугольный и тупоугольный, в силу его геометрических свойств также может быть вписана окружность. В таком случае формула нахождения площади следующая: S = p * r. Буква p обозначает ½ периметра треугольника, r — это радиус окружности.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Площадь четырёхугольников

Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

Четырёхугольник — это одна из фигур в геометрии (многоугольник), имеющая четыре стороны, а также четыре вершины, три из которых не находятся на одной прямой. Четырёхугольник называется выпуклым, если он располагается по одну сторону относительно прямой, являющейся продолжением любой из его сторон.

К выпуклым четырёхугольникам относятся практически все известные фигуры, имеющие четыре вершины, а также четыре стороны. Основными их видами выступают: 1) ромб; 2) прямоугольник; 3) трапеция; 4) квадрат; 5) параллелограмм.

Квадрат и прямоугольник

Самый простой способ вычисления площади квадрата — умножить сторону «саму на себя», иными словами, возвести в квадрат длину любой из его сторон (S = a 2 ). Такой расчёт обусловлен особым признаком квадрата — тем, что все его стороны являются абсолютно равными между собой, поэтому квадрат называется правильной фигурой.

Существует вторая, более сложная, формула площади квадрата, где осуществляется расчёт через диагональ. Диагональ — это линия, соединяющая в фигуре два угла, друг другу противоположных. Для определения площади необходимо длину диагонали возвести в квадрат и полученный результат разделить на два: S = ½ d 2 .

Для прямоугольника используется формула: S = a * b, где a, b — длина двух разных, имеющих общую вершину, сторон.

Параллелограмм, ромб и трапеция

Параллелограмм представляет собой четырёхугольник, в котором имеются два противоположных друг другу тупых угла и два — острых.

Применяются три формулы площади параллелограмма:

Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

  • Умножить сторону на высоту, перпендикулярную стороне: S = a * h.
  • Перемножить две, выходящих из одной вершины, стороны параллелограмма, и умножить на синус угла, образованного ими: S = a * b * sin γ.
  • Перемножить диагонали фигуры, затем умножить на синус угла, образованного диагоналями, и разделить результат на два: S = ½ d (1) * d (2) * sin γ.

Ромб похож на параллелограмм с одним отличием: он является равносторонним. Поэтому для вычисления площади ромба используются похожие формулы:

  • Умножить длину стороны на высоту.
  • Для ромба вторая формула площади параллелограмма преобразуется следующим образом: S = a 2 * sin γ. Поскольку все стороны у ромба равны (то есть a = b), то рассчитывается квадрат любой из них.
  • Площадь ромба рассчитать можно также, перемножив диагонали и разделив полученное число на два: S = ½ d (1) * d (2).

    Трапеция является геометрической фигурой, имеющей такие элементы: два параллельных основания — верхнее и нижнее, две боковые стороны, расположенные к нижнему основанию под острым углом. Что касается боковых сторон, то они могут быть как равными по длине (так называемая равнобедренная трапеция), так и разными.

    В связи с тем, что в «составе» трапеции можно «выделить» прямоугольник и два расположенных по бокам от него треугольника, то можно определить площадь по специальной формуле Герона: S = (a + b): | a + b | * √(p — a) * (p — b) * (p — a — c) * (p — a — d).

    В этой формуле имеются следующие обозначения:

    • буквы a, b — это основы трапеции,
    • буквы c, d — стороны,
    • p — полупериметр.

    Выпуклый четырёхугольник

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    В отношении всех иных выпуклых четырёхугольников, то есть имеющих разные по длине стороны и разные углы, разработаны свои формулы вычисления площади.

    Прежде всего, можно перемножить две диагонали, а также синус образуемого ими угла, разделив общий результат на два, то есть применить формулу: S = ½ d (1) * d (2) * sin γ.

    В том случае, когда внутри выпуклого четырёхугольника, так же как и внутри треугольника, может быть вписан круг, то для нахождения площади четырёхугольной фигуры, требуется определить две величины:

    • r — радиус окружности;
    • p — ½ периметра четырёхугольника.

    После чего полупериметр умножается на радиус. Это и будет площадь четырёхугольника. Формула выглядит так: S = p * r.

    Для тех случаев, когда круг может быть очерчен вокруг четырёхугольника, применяется другая формула. Для её использования все стороны фигуры должны быть известны. Они обозначаются буквами a, b, c, d. Рассчитывается половина периметра: p = (a + b + c + d)/2. Затем определяется площадь: S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d).

    Когда конфигурация четырёхугольника такова, что не позволяет возле него описать круг, то в связи с этим формула площади немного дополняется: S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos 2 γ.

    Коэффициент γ представляет собой половину от суммы двух противоположных углов четырёхугольной фигуры: γ = (угол (1) + угол (2)) / 2.

    Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

    Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

    Круг и эллипс

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Самое распространённое и широко применяемое правило определения площади круга — это умножение радиуса окружности в квадрате на число пи: S = π * r 2 .

    Число пи, обозначаемое греческой буквой «π» — это математическая постоянная, которая является результатом деления длины окружности на диаметр. π — иррациональное число. Для расчётов признаётся его среднее значение, равное 3,14.

    Вместо радиуса можно использовать диаметр окружности: диаметр возводится в квадрат, умножается на число π, результат делится на четыре. Формула выглядит так: S = (π * d 2 ) / 4.

    Для того чтобы посчитать площадь такой фигуры, как эллипс, необходимо провести две оси, то есть две линии, каждая из которых разделяет эллипс на две равные части, при этом сами линии перпендикулярны друг другу (образуют прямой угол). Точка пересечения разделяет каждую из осей напополам, образуя полуоси.

    Площадь эллипса вычисляется как произведение трёх величин: числа π, длины большой полуоси (а) и длины малой полуоси (b): S = π * a * b. Для удобства расчёта площадей различных фигур также можно использовать специальные онлайн-калькуляторы.

    Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

    Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

    Площади четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковФормулы для площадей четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковВывод формул для площадей четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

    В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

    которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

    Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

    Миникурс по геометрии. Четырехугольники

    Формулы для площадей четырехугольников

    a и b – смежные стороны

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    d – диагональ,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

    R – радиус описанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    a и b – смежные стороны,
    φ – угол между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    a – сторона квадрата

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    a – сторона,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    r – радиус вписанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    a и b – основания,
    h – высота

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    a и b – основания,
    c и d – боковые стороны

    a и b – неравные стороны,
    φ – угол между ними

    a и b – неравные стороны,
    φ1 – угол между сторонами, равными a ,
    φ2 – угол между сторонами, равными b .

    a и b – неравные стороны,
    r – радиус вписанной окружности

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников,
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
    p – полупериметр,

    Формулу называют «Формула Брахмагупты»

    ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
    ПрямоугольникВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковS = ab
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    ПараллелограммВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    КвадратВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковS = a 2
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковS = 4r 2
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    РомбВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    ТрапецияВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковS = m h
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    ДельтоидВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковS = ab sin φ
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Произвольный выпуклый четырёхугольникВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Вписанный четырёхугольникВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – смежные стороны

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    d – диагональ,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    где
    R – радиус описанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    где
    a и b – смежные стороны,
    φ – угол между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    где
    a – сторона,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    r – радиус вписанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – основания,
    h – высота

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – основания,
    c и d – боковые стороны

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ – угол между ними

    где
    a и b – неравные стороны,
    r – радиус вписанной окружности

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников,
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
    p – полупериметр

    Формулу называют «Формула Брахмагупты»

    Прямоугольник
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Параллелограмм
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Квадрат
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковS = a 2

    где
    a – сторона квадрата

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковS = 4r 2

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Ромб
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Трапеция
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Дельтоид
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ1 – угол между сторонами, равными a ,
    φ2 – угол между сторонами, равными b .

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Произвольный выпуклый четырёхугольник
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Вписанный четырёхугольник
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    Прямоугольник
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – смежные стороны

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    d – диагональ,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    R – радиус описанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    ПараллелограммВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – смежные стороны,
    φ – угол между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    КвадратВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a – сторона квадрата

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    РомбВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a – сторона,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    r – радиус вписанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    ТрапецияВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – основания,
    h – высота

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – основания,
    c и d – боковые стороны ,
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    ДельтоидВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ – угол между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ1 – угол между сторонами, равными a ,
    φ2 – угол между сторонами, равными b .

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    r – радиус вписанной окружности

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Произвольный выпуклый четырёхугольникВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Вписанный четырёхугольникВыучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где
    a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
    p – полупериметр

    Формулу называют «Формула Брахмагупты»

    Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

    Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shorts

    Вывод формул для площадей четырехугольников

    Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

    где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

    где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    то, в силу утверждения 2, справедлива формула

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников,

    где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников,

    где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников
    (рис.6).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников,

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

    где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

    Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

    Видео:8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12Скачать

    8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12

    Площади фигур

    Площадь фигуры — это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

    Содержание:

    Понятие площади

    Площадь — это тоже величина. Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.

    Площадь фигур мы будем обозначать буквой S. Запись Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковчитается как «площадь фигуры F».

    Определение. Измерить площадь фигуры — это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.

    Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.

    Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников(квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей площади является 1 Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников(квадратный сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников(квадратный метр).

    Любую площадь S можно выразить через единицу измерения площади в виде Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников, где k — числовой множитель, который показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

    Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр (т. е. Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников). Тогда запись Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковозначает, что площадь фигуры равна Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников, т. е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз.

    Можно сфорулировать свойства измерения площади.

    1. Всякий многоугольник F имеет площадь Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников. Площадь является величиной, численное значение которой неотрицательно, т. е. Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковдля любой фигуры F.

    Площадь фигуры зависит только от ее размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Это формулируется так.

    2. Если две фигуры равны, то равны и их площади.

    Пусть дана фигура F, которая является объединением двух фигур Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников, причем эти фигуры пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. Тогда

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Есть случаи, когда фигура является объединением двух других фигур, но данное равенство не выполняется. На рисунке 2.138 изображены два треугольника Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковФигура R — их объединение. В этом случае Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников(при сложении площадь ромбовидной области в центре рисунка войдет в сумму дважды).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Еще одно свойство площади формулируется следующим образом.

    3. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины отрезка.

    Для фигуры, разбитой на части, справедливо следующее свойство.

    4. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры.

    Свойство измерения площади квадрата.

    5. Площадь квадрата со стороной Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковравна Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников.

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    В геометрии различают фигуры равные и равновеликие.

    Определение. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

    Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника

    Теорема 33. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников— стороны прямоугольника.

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Проведя диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 2.139), можно легко доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника ABC и CDA, а тогда нетрудно доказать теорему 34.

    Теорема 34. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (рис. 2.140):

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников— катеты прямоугольного треугольника.

    Площади треугольников

    Теорема 35. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    На рисунке 2.141 изображен треугольник ABC.

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Есть еще одна формула для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Кроме этой формулы, есть еще так называемые ге-роновы треугольники — это треугольники, у которых целочисленные стороны и их площадь тоже есть целое число (примерами таких треугольников могут быть треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53).

    Теорема 36 (формула Герона). Площадь треугольника равна

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников— стороны треугольника, а р — его полупериметр, Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников.

    Существует формула площади треугольника, которая использует понятие синуса угла.

    Теорема 37. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    где Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников— стороны ААВС, а Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников— угол между этими сторонами.

    Площади четырехугольников и многоугольников

    Для вывода формулы площади параллелограмма определим высоту параллелограмма.

    Определение. Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки какой-нибудь стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону.

    Высотой параллелограмма можно считать также и длину этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

    На рисунке 2.142 изображен параллелограмм ABCD, Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников— его высоты. Заметим, что основания высот параллелограмма могут попасть и на продолжение одной из сторон (рис. 2.143).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Теорема 38. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты.

    ABCD — параллелограмм, AD = ВС = Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников, AM = CN = h (рис. 2.144).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Для вывода формулы площади еще одного четырехугольника — трапеции определяется понятие высоты трапеции.

    Определение. Высотой трапеции называют отрезок перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки основания трапеции к прямой, содержащей другое основание.

    Высотой можно также считать длину этого перпендикуляра. На рисунке 2.145 ВМ — высота трапеции ABCD.

    Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. если Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольникови Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников— основания трапеции, h — высота и S — площадь трапеции, то

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей.

    Такое разбиение выпуклого многоугольника можно осуществить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 2.146). Иногда удобно пользоваться другими разбиениями (рис. 2.147, 2.148).

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Пример:

    Через середину основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что полученный таким образом четырехугольник — параллелограмм и что его площадь равна половине площади треугольника.

    Решение:

    Из условия задачи имеем:

    1. Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    2. AD = DC. (рис. 2.149)

    3. DE || ВС, DF || АВ.

    4. Надо доказать, что BEDF — параллелограмм и что Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    5. Так как DE || ВС и DF || АВ, то BEDF — параллелограмм (2, определение параллелограмма).

    Нужно установить связь между площадью параллелограмма и треугольника. Для этого удобно параллелограмм разбить на треугольники.

    6. Соединим точки В и D и рассмотрим полученные треугольники (построение) (рис. 2.150).

    7. Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковравны (BD — общая сторона, Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольникови Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (1, 2, 3, признак равенства треугольников по сторонам и двум прилежащим углам).

    8. Эти треугольники и равновелики.

    9. Треугольники BFD и CFD также равновелики между собой (хотя в общем случае они не равны), так как BF = FC (DF — средняя линия), т. е. основания их равны и они имеют одинаковую высоту, так как вершина D у них общая.

    10. Аналогично равновелики между собой и Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    11. Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольниковследовательно, площади Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольникови параллелограмма BEDF можно записать так: Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольникова Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников(8, 10, свойства площадей).

    12. Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников(11).

    Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

    Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

    Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников Выучить формулы площадей и свойства площадей треугольников и свойства четырехугольников

    Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

    Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

    Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

    💥 Видео

    Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

    Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

    Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

    Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

    КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

    КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

    Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

    Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

    Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

    Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

    КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

    КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

    9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

    9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

    Задача, которую боятсяСкачать

    Задача, которую боятся

    Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

    Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

    Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

    Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

    Как не учить формулы площадей четырехугольников?Скачать

    Как не учить формулы площадей четырехугольников?

    Свойства площадейСкачать

    Свойства площадей

    11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

    11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольника
  • Поделиться или сохранить к себе: