Условие
4.3.46) В эллипс x^2+y^2/4=1 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других вершин треугольника.
Решение
Правая вершина эллипса имеет координаты
A(1;0)
Треугольник КАМ — равносторонний, значит все его углы имеют гра.дусную меру 60 градусов.
∠ КАР= ∠ МАР=30 градусов,
k_(прямой АК)=tg150 градусов=-sqrt(3/3)
уравнение прямой АК имеет вид:
y=(-sqrt(3)/3)x+b
Подставим координаты точки А в это уравнение:
0=(-sqrt(3)/3)+b
⇒ b=sqrt(3)/3
Точка К — точка пересечения прямой АК и эллипса.
Координаты точки найдем из системы:
<x^2+(y^2/4)=1
<y=(-sqrt(3)/3)x+(sqrt(3)/3)
Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать
x^2+(sqrt(3)/3)^2*(-x+1)^2/4=1
4x^2+(1/3)*(x^2-2x+1)=4
13x^2-2x-11=0
D=(-2)^2-4*(13)*(-11)=4*(1+143)=4*144=(2*12)^2
x_(1)=(2-24)/26=-22/26=-11/13 или x_(2)=1 ( это абсцисса точки А)
y_(1)=(sqrt(3)/3)*((11/13)+1)=8sqrt(3)/13
K(-11/13; 8sqrt(3)/13).
В силу симметрии эллипса относительно координатных осей
M(-11/13; -8sqrt(3)/13)
О т в е т. (-11/13; 8sqrt(3)/13); (-11/13; -8sqrt(3)/13).
Равносторонний треугольник, вписанный в эллипс
В эллипсе полуосей $ (a, b) = (5,3) $ вписан эквивалентный треугольник боковой длины $ L approx 6.14 $ и односторонний наклон $ approx 49.52 ^ $. Нарисовано в Geogebra при помощи Java mousing. Trial/error.
Являются ли $ (L, alpha) = f (a, b) $ в этой конфигурации уникальными? Если да, то какова точная длина и боковой наклон как функция от $ (a, b)? $. Если нет, то каковы все равносторонние треугольники в наборе, которые можно нарисовать по параметру $ alpha $ или любому другому удобному параметру?
Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать
Благодарим вас за полезные предложения.
Начиная с меньшего эллипса $ (a, b) = (1.5,1) $ и одной точки на нем как равностороннего треугольного центра локуса $ (u, v) = (1,074) $ на $ (a, b) = (13.43,10.95) $ большего эллипса приводит к радиусу $ 11.94 $ согласно ответу achille hui. Здесь изображен один равносторонний треугольник (такой обратной процедуры):
In following discussion, we will assume $a > b > 0$.
Определим плоскость со сложной плоскостью через отображение $ mathbb ^ 2 ni (x, y) mapsto z = x + iy in mathbb $.
В терминах $ z $ уравнение эллипса $ mathcal : frac + frac = 1 $ становится $$ A (z ^ 2 + bar ^ 2) + Bz bar = 1 quad text quad BEGIN A = frac — frac \ B = frac + frac конец $$ Пусть $ omega = e ^ <i frac > $ — кубический корень единицы. Существует 3-к-1 параметризация равносторонних треугольников в плоскости с использованием двух комплексных чисел $ p, q $. $ p $ — центр, а $ q $ — разность между одной из вершин и $ p $. Вершины треугольника будут расположены в $ p + q omega ^ k $ для $ k = 0, 1, 2 $.
Чтобы такой треугольник лежал на эллипсе $ mathcal $, нам нужно
Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
$$ A left ((p + q omega ^ k) ^ 2 + ( bar
+ bar omega ^ ) ^ 2 right) + B (p + q omega ^ k) ( bar
+ bar omega ^ ) = 1 quad text quad k = 0,1,2 $ $
Разделив коэффициенты разных $ omega ^ k $, получим
С некоторой алгеброй можно упростить
Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать
$$frac + frac = 1quadtextquad begin p &= u + iv\ a_1 &= afrac\ b_1 &= bfrac end $$ This is the equation for another ellipse $mathcal_1$. Pick any point $p = u+iv$ on this ellipse, the corresponding $|q|^2$ is given by the equation
$$ B | q | ^ 2 = 1 — (A (p ^ 2 + bar
^ 2) + Bp bar
Пусть $ q = | q | e ^ $, мы можем параметризовать семейство равносторонних треугольники, вписанные в $ mathcal $, используя $ theta $.
Пусть $ lambda ( theta) $ следует за ужасным выражением $$ lambda ( theta) = frac < sqrt < frac cos (3 theta) ^ 2 + frac sin (3 тета) ^ 2>> $$
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Для любого $ theta $ можно проверить следующие три точки $ z_1, z_2, z_3 $
$$ z_k = lambda ( theta) left (a ^ 2 cos (3 theta) + b ^ 2 sin (3 theta) i — frac1A e ^ <i ( theta + frac к)> справа) quad text quad k = 0,1,2 $$
все лежат на $ mathcal $ и, следовательно, определяют равносторонние равносторонний треугольник, вписанный в $ mathcal $.
Реализация этого беспорядка в GeoGebra показывает, что $ theta $ меняется на $ [0,2 pi) $, $ z_0 ( theta) $ будет покрывать все точки на $ mathcal $ от одного до трех раз. Когда $ theta sim frac leftrightarrow z_0 ( theta) sim bi ; $ или $ ; theta sim frac leftrightarrow z_0 ( theta) sim -bi $, $ z_0 ( theta) $ is движение назад! Следующая анимация иллюстрирует, что происходит для конфигурации $ (a, b) = (5,3) $. $ P $ — центр треугольника, а немеченная точка — $ z_0 ( theta = ) $.
- Эта параметризация дает нам параметризацию 3-к-1 семейства равносторонних треугольников, вписанных в $ mathcal $.
- Для точек в $ mathcal $ около $ (0, pm b) $ возможно иметь более одного равносторонних треугольников, имеющих точки в виде вершины!
@Ng Чунг Так указал, что четвертое пересечение находится на $$ z_4 = lambda ( theta) left (a ^ 2 cos 3 theta + ib ^ 2 sin 3 theta- dfrac <e ^ > right) $ $ Этот результат приводит к более геометрическому способу построения равносторонних треугольников, вписанных в $ mathcal $.
- Выберите любую точку $ A $ на $ mathcal _1 $ на первом квадранте. Отразите $ A $ по отношению к $ x $ -аксису, чтобы получить $ A ‘$.
- Пусть $ B $ — пересечение луча $ OA ‘$ с $ mathcal $.
- Построить линию через $ A $, параллельную нормальной строке $ mathcal $ при $ B $.
- Пусть $ C $ — это пересечение этой строки с $ mathcal $ в четвертом квадранте.
- Построить круг с центром в $ A $ через $ C $. Пусть $ D, E, F $ — другие точки пересечения с $ mathcal $.
- $ triangle DEF $ будет равносторонним треугольником, вписанным в $ mathcal $.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
📺 Видео
Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать
Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать
Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать
Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Построение 8 угольника циркулемСкачать
Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Построение пятиугольника циркулемСкачать
Построить эллипс вписанный в треугольник.Скачать
