Высота в треугольнике отношение сторон (8 видео)

Свойства высот треугольника

Содержание

свойства высоты в треугольнике
Определение и свойства высоты треугольника
Определение высоты треугольника
Высота в разных видах треугольников
Свойства высоты треугольника
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Треугольники общего вида
Треугольники общего вида.
Свойства медиан:
Свойства высот:
Прямоугольный треугольник и его свойства:
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Тригонометрические тождества:
Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников:
Теорема синусов
Теорема косинусов
📺 Видео

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

свойства высоты в треугольнике

Свойство 1

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

Свойство 2

Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:

Свойство 3

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:

Высота на сторону c вычисляется по формулам:

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Определение и свойства высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Определение высоты треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.

Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).

Обычно высота обозначается буквой h (иногда как h_a – это означает, что она проведена к стороне a).

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Высота в разных видах треугольников

В зависимости от вида фигуры высота может:

проходить внутри треугольника (в остроугольном △);
проходить за рамками треугольника (в тупоугольном △);
являться одним из катетов (в прямоугольном △), за исключением высоты, проведенной к гипотенузе.

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Свойства высоты треугольника

Свойство 1

Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).

в остроугольном треугольнике;
в тупоугольном треугольнике;
в прямоугольном треугольнике.

Вершина A является, в т.ч., точкой пересечения высот.

Свойство 2

При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:

△ABE∼△CBF: по двум углам (∠ABC – общий, ∠AEB и ∠CFB являются прямыми).
△AFG∼△CEG: по двум углам (∠AFG и ∠CEG – прямые, ∠AGF и ∠CGE равны как вертикальные углы).
△ABC∼△BEF: по трем равным углам (∠ABC = ∠EBF, ∠ACB = ∠BFE, ∠CAB = ∠BEF).

Примечание: доказательство подобия последней пары треугольников достаточно длинное и не является целью данной статьи, поэтому подробно останавливаться на нем будем.

Свойство 3

Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.

Свойство 4

Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.

Видео:Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Треугольники общего вида

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Треугольники общего вида.

Основные свойства треугольников:

Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r=/$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.