Объем тетраэдра через вектора

Онлайн калькулятор. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти объем пирамиды или объем тетраэдра построенных на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление объема пирамиды построенной на векторах и закрепить пройденый материал.

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.

Калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Объем тетраэдра через вектора

Выберите каким образом задается пирамида (тетраэдр):

Введите значения векторов: Введите координаты вершин пирамиды:

Инструкция использования калькулятора для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Теория. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах

Объем тетраэдра через вектора

Определение Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах a , b и c равен шестой части модуля смешанного произведения векторов составляющих пирамиду:

V =1| a ·[ b × c ]|
6

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Объем треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах онлайн

Объём треугольной пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) от величины смешанного произведения векторов на которых она построена:

Объем тетраэдра через вектора

Так как значение смешанного произведения векторов может быть числом отрицательным, а объём тетраэдра — только положительным, то при вычислении объёма треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Вычислить объём треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах поможет наш онлайн калькулятор с описанием хода решения на русском языке.

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипеда

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Объем тетраэдра через вектораТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Объем тетраэдра через вектораНо также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Видео:Решение задач на векторное и смешанное произведения векторовСкачать

Решение задач на векторное и смешанное произведения векторов

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Объем тетраэдра через вектора

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна Объем тетраэдра через вектора
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

Объем тетраэдра через вектора, где
BM=Объем тетраэдра через вектора, DM=Объем тетраэдра через вектора, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= Объем тетраэдра через вектора
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
Объем тетраэдра через вектора
Вынесем 1/2a. Получим

Объем тетраэдра через вектора
Объем тетраэдра через вектора
Применим формулу разность квадратов
Объем тетраэдра через вектора
После небольших преобразований получим
Объем тетраэдра через вектора
Объем тетраэдра через вектора
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
Объем тетраэдра через вектора,
где Объем тетраэдра через вектора,
Объем тетраэдра через вектора
Подставив эти значения, получим
Объем тетраэдра через вектора

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

Объем тетраэдра через вектора

где a –ребро тетраэдра

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
Объем тетраэдра через вектора
Из вершины Объем тетраэдра через векторапроведем векторы Объем тетраэдра через вектора, Объем тетраэдра через вектора, Объем тетраэдра через вектора.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Объем тетраэдра через вектора
Объем тетраэдра через вектора
Объем тетраэдра через вектора

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

💥 Видео

Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань

Решение, найдите объем тетраэдра, построенного на векторах a, b, c пример 10 Высшая математикаСкачать

Решение, найдите объем тетраэдра, построенного на векторах a, b, c пример 10 Высшая математика

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОАСкачать

№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА

№362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторамСкачать

№362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Применяя векторы, найти объем тетраэдра, А1(3, 5, 4) А2(8, 7, 4) А3(5, 10, 4) А4(4, 7, 8) пример 25Скачать

Применяя векторы, найти объем тетраэдра, А1(3, 5, 4) А2(8, 7, 4) А3(5, 10, 4) А4(4, 7, 8) пример 25

Компланарность векторов. Объём пирамидыСкачать

Компланарность векторов.  Объём пирамиды

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Смешанное произведение векторовСкачать

Смешанное произведение векторов

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Решение, вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах a, b, c пример 14 Высшая математикаСкачать

Решение, вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах a, b, c пример 14 Высшая математика

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Площадь треугольника, построенного на векторах
Поделиться или сохранить к себе: