Высота треугольника построенного на векторах

Вектор треугольника авс высоту

Видео:Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольника

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Высота треугольника построенного на векторах

Таким образом, уравнение прямой BC —

Высота треугольника построенного на векторах

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Высота треугольника построенного на векторах

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Высота треугольника построенного на векторах

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Высота треугольника построенного на векторах

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Высота треугольника построенного на векторах

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Высота треугольника построенного на векторах

Уравнение прямой AB:

Высота треугольника построенного на векторах

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Высота треугольника построенного на векторах

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Высота треугольника построенного на векторах

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Высота треугольника построенного на векторах

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Высота треугольника построенного на векторах

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Высота треугольника построенного на векторах

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Площадь треугольника, построенного на векторах

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника построенного на векторахВысота треугольника построенного на векторахВысота треугольника построенного на векторах

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Видео:Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Высота треугольника построенного на векторах

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипеда

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Высота треугольника построенного на векторах

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Высота треугольника построенного на векторах.
Высота треугольника построенного на векторах.(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Высота треугольника построенного на векторах

Ответ: Высота треугольника построенного на векторах

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

Высота треугольника построенного на векторах(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Высота треугольника построенного на векторах(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Высота треугольника построенного на векторах.(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Высота треугольника построенного на векторах

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Высота треугольника построенного на векторах

Ответ: Высота треугольника построенного на векторах

Видео:Найти площадь треугольника на векторахСкачать

Найти площадь треугольника на векторах

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Высота треугольника построенного на векторах

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Высота треугольника построенного на векторах(5)
Высота треугольника построенного на векторах(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

Высота треугольника построенного на векторах(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

Высота треугольника построенного на векторах
Высота треугольника построенного на векторах(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac . )

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Высота треугольника построенного на векторах

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac =frac , )
( small h_a=c cdot sin angle B. )(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Задача 22499 4. Зная две стороны vector = (-3;.

Условие

Высота треугольника построенного на векторах

Решение

Высота треугольника построенного на векторах

Находим скалярное произведение векторов vector и vector .
vector =(3;2;-6)
vector *vector =(3)*(-2)+(2)*4-6*4=
=-22
Находим длины .векторов vector и vector .
|vector |^2=3^2+2^2+(-6)^2=49
|vector |=7
|vector |^2=(-2)^2+4^2+4^2=36
|vector |=6

cos(vector ,vector )=-22/(7*6)=-11/21
sin(vector ,vector )=sqrt(1-(-11/21)^2)=
=sqrt(1-(121/441))=8sqrt(5)/21

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Онлайн калькуляторы векторов

Данный раздел содержит калькуляторы, позволяющие выполнять все основные действия над векторами. В частности, с помощью данных калькуляторов можно вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, раскладывать вектора по базису, проверять их ортогональность, компланарность и др. Всего представлено 19 калькуляторов и для каждого предусмотрено подробное решение соответствующей задачи.

Видео:Векторное произведение векторов. Площадь треугольника на векторахСкачать

Векторное произведение векторов. Площадь треугольника на векторах

Операции над векторами 19

Сложение векторов Калькулятор позволяет складывать вектора, заданные в координатной форме.

Разность векторов Калькулятор позволяет вычитать вектора, заданные в координатной форме.

Умножение вектора на скаляр Калькулятор находит произведение вектора на скаляр.

Скалярное произведение векторов Калькулятор позволяет найти скалярное произведение двух векторов.

Векторное произведение векторов Калькулятор позволяет найти векторное произведение двух векторов.

Смешанное произведение векторов Калькулятор находит смешанное произведение трех векторов.

Модуль (длина) вектора Калькулятор находит модуль (длину) вектора с описанием подробного решения на русском языке.

Угол между векторами Калькулятор позволяет найти угол между векторами. Подробное решение также имеется.

Направляющие косинусы вектора Калькулятор позволяет найти направляющие косинусы вектора с подробным решением на русском языке.

Проекция вектора Калькулятор вычисляет проекцию вектора на ось или на другой вектор.

Площадь треугольника, построенного на векторах Калькулятор вычисляет площадь треугольника, построенного на векторах с описанием подробного решения на русском языке.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах Калькулятор позволяет вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах с описанием подробного решения на русском языке.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах Калькулятор позволяет найти объём параллелепипеда, который построен на трёх векторах.

Проверить ортогональность векторов Калькулятор позволяет проверить ортогональность векторов с описанием подробного решения на русском языке.

Проверить коллинеарность векторов Калькулятор позволяет проверить коллинеарность двух векторов.

Проверить компланарность векторов Калькулятор предназначен для проверки компланарности трёх векторов.

Проверить образует ли система векторов базис Калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис.

Разложить вектор по базису Калькулятор позволяет разложить вектор по базису с описанием подробного решения на русском языке.

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Высота треугольника построенного на векторах

Таким образом, уравнение прямой BC —

Высота треугольника построенного на векторах

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Высота треугольника построенного на векторах

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Высота треугольника построенного на векторах

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Высота треугольника построенного на векторах

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Высота треугольника построенного на векторах

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Высота треугольника построенного на векторах

Уравнение прямой AB:

Высота треугольника построенного на векторах

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Высота треугольника построенного на векторах

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Высота треугольника построенного на векторах

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Высота треугольника построенного на векторах

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Высота треугольника построенного на векторах

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Высота треугольника построенного на векторах

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

🌟 Видео

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольника

Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Площадь параллелограмма по векторам

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

Решение, вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a=p−5q и b=2p+3q пример 19Скачать

Решение, вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a=p−5q и b=2p+3q пример 19

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: