Вычислите градусные меры всех углов данного четырехугольника

Свойства

1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
   ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
   
2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
   и этот четырехугольник является квадратом.
   ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
   ABCD — квадрат.
   
3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
   если около четырехугольника описана окружность.
   ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
   

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№5 - Измерение углов.)Скачать

Геометрия 8 класс Рабочая тетрадь Дудницын

Если т1||т2|1″^з11″^4- И 0-2 ^3 ^4 ••• > ТО Ъ-^ ^4 ••• 77 Разделите данный отрезок АВ на две равные части с помощью циркуля и линейки. 78 Разделите с помощью циркуля и линейки данный отрезок МК на три равные части. 79 Начертите отрезок и разделите его на пять равных частей. Для построения параллельных прямых воспользуйтесь линейкой и чертежным угольником. 80 ГВ2 Дано: ВК и AD — медианы треугольника АВС, КМ WAD. КС = 8 см, СМ = 5 см. Вычислите длины сторон ВС и АС данного треугольника. Решение. 1) АС = 2 ■ .= 2 • . см = . см В 30 2) МС =. (по . MD= . см, CZ)=. см, СВ —2 . ). Ответ. . ). Следовательно, см (так как . !83 В треугольнике АВС точки М ж К — середины равных его сторон АВ и ВС. Отрезки ME, BD и KF перпендикулярны стороне АС. Сторона АС равна 24 см. Вычислите расстояние между точками Е ж F. Решение. В Ответ. 58. Средняя линия треугольника 0 Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна противолежащей стороне и равна ее половине. МК — средняя линия ААВС МК II АС мк=ас 84 Прямые AjCj, А^С^, AgCg параллельны стороне АС треугольника АВС; ВА^ = =A^A^=A^g=A^. Найдите на рисунке среднюю линию: а) треугольника АВС; б) треугольника BAjC^. (Решите задачу устно.) Ответ, а) . ; б) . Начертите треугольник. Постройте с помощью циркуля и линейки две его средние линии. 86 Стороны треугольника равны 12 см, 14 см и 16 см. Вычислите длины его средних линий. (Решите задачу устно.) Ответ. 187 Диагонали АС и BD ромба ABCD равны соответственно 12 см и 18 см. Точки Т, М, К ж Р являются серединами его сторон АВ, ВС, CD и AD. Определите вид четырехугольника МКРТ. Вычислите его периметр. Решение. 1) МК=. АС. РТ=. (по . ). Следовательно, МК. РТ. Аналогично КР. BD и МТ. BD, поэтому КР. МТ. Значит, четырехугольник МКРТ — . Стороны его параллельны диагоналям ромба, которые. Теперь можем утверждать, что четырехугольник МКРТ — . 2) Найдем длины сторон прямоугольника МКРТ-. МК = РТ=^АС = = i. =. (по свойству. . ). Аналогично КР—. = ^ ■ . = . = . Периметр прямоугольника равен . = Ответ. 32 [881- Точки М, к, Р ж Т — середины сторон прямоугольника ABCD. Точка М лежит на стороне АВ, точка К — на стороне ВС и т. д. Диагональ прямоугольника равна 16 см. Определите вид четырехугольника, образованного отрезками МК. КР, РТ ж МТ. Вычислите его периметр. Решение. Ответ. Около треугольника АВС описана окружность. Сторона АВ является ее диаметром. Вычислите расстояние между серединами хорд АС ж ВС, если диаметр окружности равен 22 см. Решение. Ответ. 190 в треугольнике CDE проведены медианы DM ж СК. Вычислите расстояние между точками М ж К, если сторона CD треугольника равна 7 см. (Сделайте рисунок и решите задачу устно.) Ответ. 2 Дулницын, 8 кл. 33 91 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС лежат точки М и К. Известно, что AM = МВ = ВК = КС = МК — 6 см. Вычислите периметр треугольника АВС. Решение. Ответ. 92 лВ Через середину О средней линии равностороннего треугольника АВС проведена прямая, параллельная его стороне. Вычислите расстояние между точками пересечения этой прямой со сторонами треугольника, если сторона треугольника равна 24 см. Решение. 1) Четырехугольник АМОТ — . . (так как МО ОТ. AM). Следовательно, ОТ=. 2) Отрезок ОК является . треугольника . (так как О — середина стороны . .. и прямая КТ АТ. J_ 2 СМ. стороне . ). Следовательно, ОК = ^ • искомое расстояние ТК = .. -Ь Ответ. .. =. см. Поэтому см -I- . см = . см. 59. Трапеция Го о Трапеция — это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. АВ, ВС — основания АВ, CD — боковые стороны 34 о Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых ее сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Вг М— — средняя линия трапеции mkWad, mk^Uad+bc) Q I Прямоугольная трапеция — это трапеция, одна из боковых сто-1 рон которой перпендикулярна основаниям. 93 Запишите название четырехугольника, изображенного на каждом из рисунков. В______________С N_________Р Е Л- М’- ADWBC Ответ. а) ABCD — , б) MNPK —. в) CDEF — , г) EFPT — . mkWnp EF\PT Углы А и D при основании трапеции ABCD равны 70° и 50°. Вычислите градусные меры остальных ее углов. Решение. Углы А и В являются . при параллельных прямых . ..и секущей . Следовательно, их сумма равна . °. Поэтому АВ= . ° — ..° = . °. Аналогичным образом находим величину угла . А. =. °-. °=. °. Ответ. 35 Начертите с помощью линейки прямоугольную трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а расстояние между ними равно 4 см. (Будем считать сторону одной клетки равной 0,5 см.) 96 Постройте с помощью линейки равнобокую трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а расстояние между ними равно 2,5 см. (Будем считать сторону одной клетки равной 0,5 см.) 97 Два угла равнобокой трапеции пропорциональны числам 1 и 2. Вычислите градусные меры всех углов этой трапеции. Решение. Ответ. 98 Один из противоположных углов прямоугольной трапеции на 40° больше другого. Вычислите градусные меры всех углов трапеции. 36 Решение. Ответ. 99 Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 6 см и 10 см. Вычислите длины оснований трапеции. Решение. Ответ. 100 Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 7 см, 4 см и 7 см. Вычислите длины оснований трапеции. Решение. В треугольнике АВС отрезок МК является . . Следовательно, ВС =. см (по свойству . ). В треугольнике ACD отрезок КР является . КР =. -1. =. см -1-.. см = . см. Поэтому AD =. см. Ответ. 37 101 Дано: ABCD — трапеция, AB±AD, ВС = 10 см, AC = CD. Вычислите длину средней линии трапеции. Решение. Проведем перпендикуляр СК из точки С к основанию AD. В треугольнике ACD он является. . (так как . . . ). Четырехугольник АВСК —. Поэтому АК= . =. см. Значит, AD =. см. Теперь вычислим длину средней линии (проведем ее и обозначим МР). МР =. Ответ. . 60. Теорема о пропорциональных отрезках 61. Построение четвертого пропорционального отрезка Те Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. А^ с7/ О Если даны отрезки а, 6 и с, то С^/ четвертый пропорциональный отрезок — это отрезок, удовле- т\1 творяющий условию АВ^‘.АВ2″^АС ОЕ^ = Ъ см, £^£2 = ^ см, F^F2 = b см. Вычислите длину отрезка OF у. О 1) Пусть ВуВ2 = х см, тогда ОВ2 = (Ю + х) см. Составляем уравнение: 6:14 = 10:(. ) (по теореме . . ). Решаем его: . , х=. Значит, ВуВ2 =. см. Решение. 2) . Ответ. 1) . ; 2) 39 105 Боковые стороны трапеции ABCD продолжены до пересечения в точке М. АВ= 12 см, ВМ=1Ъ см, CD = 8 см. Вычислите расстояние от точки М до вершины С. Решение. М D Ответ. 106 Вычислите длину отрезка, который является четвертым пропорциональным отрезков а, Ь н с, если их длины равны соответственно 12 см, 8 см и 9 см. Решение. Искомый отрезок х должен удовлетворять равенству а:Ь = с:х (по . ). Подставим в него данные величины. Получим уравнение 12:8 = 9: л:. Решим его: . , х=. Значит, искомый отрезок равен . см. Ответ. 107 Вычислите длину отрезка, который является четвертым пропорциональным отрезков т, п ч р, если их длины равны соответственно 15 см, 20 см и 18 см. Решение. Искомый отрезок х должен удовлетворять равенству . =. (по . . ). Подставим в него данные величины. Получим уравнение . Решим его: . , jc=. Значит, искомый отрезок равен . см. Ответ. 108 Даны отрезки а, Ъ ч с. Постройте четвертый пропорциональный им отрезок. (Воспользуйтесь линейкой и чертежным угольником.) 40 а Ъ , с м

С — Решение. Начертим произвольный (например, острый) угол О. Отложим на одной его стороне отрезки ОА, равный а, и ОВ, равный Ь. Теперь отложим на другой стороне угла О отрезок ОС, равный отрезку с. Через точку С и конец первого построенного отрезка (точку А) проведем прямую. Затем проведем через точку В прямую, параллельную прямой АС. Точку пересечения этой прямой со стороной угла О обозначим М. Отрезок ОМ является искомым, так как ОА:ОВ = ОС:ОМ (по теореме о . ), т. е. а:Ъ = с:ОМ. Таким образом, отрезок ОМ — четвертый пропорциональный отрезков а, Ь и с. Ответ. Построенный отрезок — ОМ. 109 Даны отрезки т, п и р. Постройте отрезок, являющийся четвертым пропорциональным данных отрезков. (При построении воспользуйтесь линейкой, циркулем и чертежным угольником.) Решение. Начертим произвольный (например, острый) угол А. Отложим на одной его стороне отрезки AM, равный т, и AN, равный . Теперь отложим на другой стороне угла А отрезок АР, равный отрезку . Через точку Р и конец первого построенного отрезка (точку . ) проведем прямую. И затем проводим прямую через точку . , параллельную прямой . Точку пересечения ее со стороной угла А обозначим К. Отрезок . является искомым, так как выполняется равенство . (по теореме о . . ), т. е. Значит, отрезок . . отрезков т, п и р. Ответ. 41 110——————————————————— Даны отрезки а, Ь а с. Постройте отрезок, являющийся четвертым пропорциональным данных отрезков. (При построении воспользуйтесь циркулем, линейкой и чертежным угольником.) Решение. Ответ. § 7 Теорема Пифагора 62. Косинус угла О Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего (к это- в cos а = ^ АВ му углу) катета к гипотенузе. г Тс А Косинус угла зависит только от с градусной меры этого угла. 42 Ill Вычислите косинус угла а данного прямоугольного треугольника. (Воспользуйтесь определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника.) В Е К Решение, а) Прилежащий катет — АС, АС =. Гипотенуза — . cos а = АС б) Прилежащий катет — . = . Гипотенуза — . , cos а = -—^— = — в) Прилежащий катет — . = . Гипотенуза — . cos а = —= —— 112 Дано: треугольник АБС равносторонний, АВ — 5 м. Вычислите косинус угла А. Решение. Проведем высоту BD данного треугольника. Рассмотрим треугольник ABD. Его гипотенуза — . =. ; катет, прилежащий к углу А,— . — = . (по свойству . . ). Значит, cosA= = = . (так как АА = 60°, то cos 60° = = . ). Ответ, cos А =. 113 Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 16 см. Высота BD равна 15 см. Боковая сторона — 17 см. Вычислите: 1) косинус угла А; 2) косинус угла CBD. 43 Решение. 1) Рассмотрим треугольник ABD. Его гипотенуза —. ; катет, прилежащий к углу А,—. Тогда cos А =. 2) Рассмотрим треугольник CBD. Его гипотенуза —. ; катет, прилежащий к углу CBD,—. Тогда cos CBD = = =15 . 17- 114 Меньшее основание ВС равнобокой трапеции ABCD равно 15 см. Большее ее основание — 25 см. Боковая сторона АВ равна 20 см. Вычислите косинус угла А. Решение. Ответ, cos А = 115 Постройте на клетчатой бумаге угол, косинус которого равен (При построении используйте линейку и циркуль.) Решение. Искомый угол должен быть острым углом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 5 некоторым единицам длины, а катет, прилежащий к этому углу, равен 4 выбранным единицам. За единицу длины примем две клетки. Начертим прямой угол (его вершина О). На одной стороне этого угла отложим отрезок ОА, равный четырем единицам длины. С центром в точке А проводим дугу радиусом в пять единиц длины. Обозначим точку пересечения дуги и другой стороны угла через В. Проводим отрезок АВ. Образовался прямоугольный треугольник ОАВ. Косинус его острого угла ОАВ равен Ответ. А ОАВ, cos А = 5 • 44 116 —————————————————————— 5 1) Постройте на клетчатой бумаге угол, косинус которого равен у. (При построении используйте линейку и циркуль.) 2) Постройте угол, косинус которого равен (При построении используйте циркуль, линейку с делениями и чертежный угольник.) Выполните только построения, их описание не проводите. Ответ. 1) ^ . ; cos 5 7 , 2) /1 . ; cos 4 7 • 63. Теорема Пифагора 64. Египетский треугольник Те в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме С квадратов катетов. V Тс Следствия: 1. Квадрат катета равен разности с между квадратом гипотенузы и квадратом другого катета. (В пря- с^=а+Ь^, Ав»=ВСаС^ моугольном треугольнике любой а = с- Bd=AB^-AC^ из катетов меньше гипотенузы.) л Ь . cosA= с ^BDC

. Ответ. (по 119 Высота МТ треугольника МКР делит сторону РК на отрезки РТ = Ъ см и ТК = = 9 см. Сторона МР равна 13 см. Вычислите периметр этого треугольника. Решение. Начертим треугольник МКР и проведем его высоту МТ. В нем сторона . является . 46 Поэтому . 2 = . = . Получим. = . Далее рассматриваем треугольник . Находим его неизвестную сторону . Она является .Поэтому .^ = = . = . Получим . =. Теперь вычисляем периметр треугольника . Он равен Ответ. 120 Дано: ABCD — параллелограмм, BK^^AD, АК=Ъ см, ВК=8 см, BD=10 см. Вычислите периметр этого параллелограмма. Решение. Рассмотрим треугольник BKD. Он . (по . ), KD —. . Следовательно, KD^=. = . = . , KD= . Значит, AD= . = . = . Теперь рассмотрим треугольник АВК. Он . (по . ), АВ — . . Следовательно, АВ’^ Вычислим периметр параллелограмма: Pj^scd^ 2 <. )= . Ответ. 2 (. ■ ) = 121 Из вершины тупого угла В ромба ABCD проведен к стороне AD перпендикуляр ВК. Он делит эту сторону на два отрезка: АК = 6 см и KD = 4 см. Вычислите длину диагонали BD. Решение. Вычислим длину стороны ромба: . =. =. Теперь рассмотрим треугольник . Вычислим длину отрезка ВК ВК — его . Следовательно, ВК'^ = = . ВК^ . Далее рассмотрим треугольник . Находим длину его стороны: Ответ. 47 122 Боковые стороны прямоугольной трапеции ABCD равны 10 см и 8 см. Ее большее основание AD равно 18 см. Вычислите длину меньшего основания трапеции и длину ее средней линии. Решение. Проведем перпендикуляр ВК на основание AD. Рассмотрим треугольник . Ответ. 123 Основания равнобокой трапеции МРКТ равны 8 см и 16 см. Расстояние между основаниями равно 3 см. Вычислите периметр трапеции. Решение. Проведем перпендикуляры РА и КВ из концов меньшего основания трапеции к большему основанию. Рассмотрим образовавшиеся треугольники МРА и КТВ. Находим длины их катетов: Затем вычисляем длину гипотенузы: И, наконец, вычисляем периметр трапеции: Р^ркт^ Ответ. 124 Хорда, равная 16 см, удалена от центра окружности на 6 см. Вычислите длину диаметра этой окружности. Решение. Проведем из центра данной окружности перпендикуляр ОК к хорде АВ и радиус ОВ. Точка К является . хорды АВ (по свойству ради- 48 уса. ). Значит, КВ =. Длина отрезка О К равна расстоянию от . Поэтому ОК =. Теперь рассмотрим треугольник ОКБ и вычислим длину его стороны ОВ; Итак, ОВ =. Остается найти длину диаметра окружности. Она равна 2 -2 •. =. (Так как . •) Ответ. 125 Радиус окружности равен 13 см. Проведена хорда этой окружности, равная 10 см. Вычислите расстояние от центра окружности до хорды. (При решении задачи воспользуйтесь рисунком к задаче 124.) Решение. Ответ. 126 Через точку М, удаленную от центра окружности на 20 см, проведена касательная МК к ней <К — точка касания). Радиус окружности равен 12 см. Вычислите длину касательной МК. Решение. Проведем радиус ОК. Угол ОКМ —. (по свойству радиуса, . )■ Рассмотрим треугольник ОКМ. В нем ОК и КМ . ОМ =. , ОК = . длину МК: . -м . , ом — Вычисляем Ответ. 49 127—————————————————————— Через точку М проведена к окружности касательная МК, равная 15 см. Радиус окружности равен 8 см. Вычислите расстояние от точки М до центра окружности. (При решении воспользуйтесь рисунком к задаче 126.) Решение. Ответ. Если для сторон треугольника выполняется равенство а^ + Ь^ = с^ Стороны треугольника равны а, Ь и с. Является ли этот треугольник прямоугольным, если: 1) а = 30, 5 = 16, с = 34; 2) а = ‘^, 5 = 7, с = 6; 3) а-9, 5-12, с-8; 4) а-11, 5-7, с=72; 5) 0 = 5, 5 = 11, с = 13; 6) о = 10, 5 = 41, с = [59? Решение. 1) Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: 30^-1-16^ = = 900-1-256=1156. Найдем квадрат большей стороны: 34^=1156. Получим а’^ + Ь^ — с^. Следовательно, треугольник прямоугольный. 2) Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: 7^-1-6^ = 49-1-36 = 85. Найдем квадрат большей стороны: (’85)^ = 85. Получим 5^Ч-с^ = а^. Следовательно, треугольник прямоугольный. 3) Вычислим сумму: 9^ -I- 8^ =. =. Квадрат большей стороны равен 12^=. Получим а^+. ^ . ^ . Следовательно, треугольник не является прямоугольным. 50 4) 5) 6) Ответ. 1) . ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Перпендикуляр и наклонная 66. Неравенство треугольника Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. М МА — перпендикуляр к прямой а. Точка А — его основание. МВ, МС, MD, ME — наклонные, проведенные из точки М к прямой а. Точки В. С, D, Е — основания наклонных. АВ — проекция наклонной МВ на прямую а, АС — проекция наклонной МС на прямую а. МВ, МС, MD, ME больше МА МВ = МС,АВ=АС AD>AC,MD>MC AE>AD,ME> MD 129 Дано: КРЕа, КА, КВ, КС и KD мой а, KB a2, то sina, >sina2, tgaj>tg02, cos а, 45°; 2) косинусы углов аир, если: а) а 45°. Ответ. 1) а) . ; б) .. 2) а) . ; б) .. § 8 Декартовы координаты на плоскости 71. Определение декартовых координат О о Абсцисса точки А — это число д:, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О (начала координат) до точки (пересечения прямой, параллельной оси ординат, с осью абсцисс). Число д:>0, если точка принадлежит положительной полуоси, и д: 0, если точка А^ принадлежит положительной полуоси, и у Постройте на координатной плоскости точки: М (3; 2), К (-4; 0), Р (-3; -1), F (0; -2). Вычислите расстояние от каж-

дой точки до начала координат. ‘—I—I—I—^ Ответ. МО =. ; КО =. РО = . ; FO =. -f 1- -^1-2 О J -2 + [jii> д: Даны точки: А(2; 2), В (-4; 4), С (2; -2), D (2; 4), Е (-3; -3), Р (1; -1), Т (4; 4). Какие три из данных точек: 1) принадлежат одной прямой, перпендикулярной оси ординат; 2) принадлежат одной прямой, перпендикулярной оси абсцисс; 3) принадлежат биссектрисе первой и третьей четвертей; 4) принадлежат биссектрисе второй и четвертой четвертей? Ответ. 1) . ; 2) . ; 3) . ; 4) . 169 Даны точки: М (-8; 1), К (2; 9), Р (4; -5), Т (-6; -3). Какую из координатных осей пересекает отрезок: 1) МК; 2) КР; 3) РТ; 4) МТ; 5) КТ? Ответ. 1) . ; 2) . ; 3) . 4) ; 5) . 170 Распределите по координатным четвертям точки: А (8; -5), В (-9; 6), С (2; 5), D (-1; -7), Е(7; -4), К (-5; -13). Ответ. I четверть — . ; II четверть — . III четверть — . ; IV четверть — . 71 72. Координаты середины отрезка 73. Расстояние между точками Т Координаты середины С отрезка АВ, где А (Xj; у,), В (х^; у^, вычисляются по формулам 2 ’ »с 2 • BiXziUz) 171 Дан четырехугольник МКРТ, причем М (4; 2), К (-5; 1), Р (2; 8), 7’(1;-3). 1) Вычислите координаты середин его диагоналей. 2) Верно ли, что точка С является серединой диагонали КТ? 3) Верно ли, что середина диагонали КТ является серединой диагонали МР? Решение. 1) Находим координаты середины диагонали МР (точки С): Xf.=. =. ; У(,=. = . , значит, С ( — ; .). Вычисляем координаты середины второй диагонали КТ (точки Е): Ответ. 1) . ; . = —■ , значит, Е ( . ; 2) . . ; 3) . ). 172 Дано: треугольник АВС равнобедренный <АВ = ВС), причем А (6; 4), С (4; -2). Вычислите координаты основания высоты BD данного треугольника. Решение. Основание D высоты BD является серединой отрезка АС (по . ). Поэтому лГд =. =. ; . =. Ответ. D (. ; .. ). fl73 Отрезок СЕ является диаметром окружности с центром К. Вычислите координаты центра окружности, если С (-6; 2), Е (4; -4). Решение. . . 72 Ответ. 174 ———————————————————— Отрезок РМ является диаметром окружности с центром К. Вычислите координаты конца М диаметра, если К (8; -4), Р (-6; 2). Решение. Введем обозначения координат точки М. Пусть М (д:; у). гг, JC + (-6) „ 1огда можем составить уравнения: —^— = 8;

3), D (0; 4) — принадлежит данной окружности. 78 Решение. 1) Подставим координаты точки А в уравнение окружности. Получим числовое равенство . =5. Упростим его левую часть. Получим равенство . =5. Это равенство . Следовательно, точка А . данной окружности. 2) . Следовательно, 3) . Следовательно, 4) Ответ. 192 Составьте уравнение окружности, отрезок АВ, где А(-2; 1), В (4; 5). Решение. диаметром которой является Ответ. Найдите координаты центра и длину радиуса окружности, которая задана уравнением: 2) (;с-1)2 + (г/ + 6)^ = 36; 4) <х-7Г + (у + 1Г = 15; 1) <х-4У + (у-2Г = 9; 3) (.)с + 3)2 + (//-5)‘* = 49; 5) х'^-4х + у^-6у + 13 = 4. Решение. 1)0=. Ь =. = 3) о =. Ь=. R'^ = 2) о 4) а , Ь = , ь = , н^ = , R^ = 79 5) Преобразуем левую часть уравнения так: (л:^-4д: + 4) + (г/*-= (jc-2)^ + (j/-3)^. Теперь уравнение имеет вид (x-2)^ + (z/-3)^ = 4. а =. Ь =. , =. Ответ. 1) А(. ; ..), Е=. ; 2) А (.. ; . ), Д =. 3) А(. ; ..), i? =. ; 4) А(. ; . ), Д =. 5) А (.. ; ), R=. 6у + 9) = Значит, 194 Составьте уравнение окружности с центром М (5; 3), которая касается: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат. Решение. 1) В прямоугольной системе координат отметим точку М. Проведем перпендикуляр МА к оси абсцисс. Отрезок МА должен являться . искомой окружности. Его длина равна . Мо- жем составить уравнение окружности: 2) Ответ. 1) . 2) 195 Окружность задана уравнением (х — 2)^—(у-АУ = 2Ъ. Касается ли она координатных осей? (Ответ поясните.) Решение. 1) Расстояние от центра окружности до оси абсцисс равно . Сравним его с длиной радиуса, который равен . Получим . Следовательно, окружность. оси абсцисс. 2) Расстояние от центра до оси ординат равно . Сравним его с длиной радиуса. Получим . Следовательно, окружность . оси ординат. 80 75. Уравнение прямой 76. Координаты точки пересечения прямых Любая прямая т (в декартовых координатах х, у) имеет уравнение вида ах + Ьу + с = 0, где а, Ъ, с — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а, Ь не равно нулю. Подберите координаты точек М и К, принадлежащих прямой, заданной уравнением Зх-у-2 = 0. Решение. Если возьмем точку М (_______ ; . ) и подставим эти координаты в уравнение, получим равенство . Оно является . Значит, точка М. данной прямой. Если возьмем точку К ( .. ; .. ) . Ответ. М ( h К —- Прямая т имеет уравнение 4jc-3i/-1-6 = 0. 1) Точка М, абсцисса которой равна 3, принадлежит данной прямой. Найдите ординату точки М. 81 2) Точка К, ордината которой равна 8, принадлежит данной прямой. Найдите абсциссу точки К. Решение. 1) Подставим абсциссу точки М в уравнение данной прямой. Получим уравнение с одной переменной у: . Решим это уравнение: . Получим у=. Значит, точка М имеет координаты (.. ; ..). 2) . Значит, точка К имеет координаты (. Ответ. 1) . ; 2) . [«!> Найдите координаты точек пересечения с осями координат прямой, которая задана уравнением: 1) Jc-4i/ + 8 = 0; 2) Зле+ 1/-9 = 0; 3) 2лс + Зг/-12 = 0. Решение. 1) Точка пересечения данной прямой с осью ординат имеет абсциссу, равную . (т. е. =0). Подставим в уравнение прямой вместо . число 0. Получим уравнение . Решим его: . , у=. Таким образом, получили, что точка пересечения данной прямой с осью ординат (точка А) имеет координаты: х=. ; у=. Находим вторую точку — точку пересечения прямой с осью абсцисс. Ордината ее равна . (т. е. у=. ). Подставим вместо . число . в уравнение прямой. Получим уравнение . , которое содержит переменную. Решим его: . , х=. Таким образом, получили, что точка пересечения данной прямой с осью абсцисс (точка В) имеет координаты: х— . ; у =. 2) . 82 3) Ответ. 1) А (. 3) А (. .). В (. .), В (. .); 2) А (. .)• .), в (. Координаты (х; у) точки пересечения прямых, заданных уравнениями ajX-l-6ji/-l-c, = 0, а^х + Ь^у + с^— являются решением системы зфавнений a^x + bjy + Cj = 0 а^х + Ь^у + с^ = 0. о. 200 Найдите координаты точки пересечения прямых: 1) х + 3у

2 = 0 и 2х + у-9 = 0; 2) 4х-1-1/-1 = 0 и Зх-2у + 2 = 0; 3) 5х-2у-3 = 0 и Зх + 2у

5 = 0. Решение. 1) Составим систему уравнений, решением которой являются координаты точки пересечения этих прямых: х+Зу-2=0 2х + у-9 = 0. 83 Решим ее, например, способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную х: х=. Подставим полученное выражение во второе уравнение и найдем значение у: . , у =. Находим значение х: . , х=. 2) . 3) Ответ. Точка пересечения прямых имеет координаты: 1) (. ; . ); 2) (. ; . ); 3) (. ; . ). 201 Найдите координаты точки пересечения прямой х — 2у-3 = 0 с прямой, на которой лежат биссектрисы первого и третьего координатных углов. Решение. Координаты каждой точки, расположенной на второй прямой, обладают свойством: абсцисса этой точки . ее ор- динате. Поэтому вторая прямая может быть задана уравнением . =. Теперь составим систему двух уравнений: Решим ее: 84 Ответ. Найдите координаты точки пересечения прямой 2х + у-6 = 0 с прямой, на которой лежат биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Решение. Координаты каждой точки второй прямой обладают свойством: абсолютные величины абсциссы и ординаты их. , а значения х и у отличаются знаками. Поэтому вторая прямая может быть задана уравнением .. =. Теперь составим систему уравнений: Решим ее: Ответ. Определите, как расположены прямые: 1) х-2у-3 = 0 и 2x-t-i/-6 = 0; 2) x

Sy-4 = 0 и Зд: —9i/-t-7 = 0; 3) 2х + 4у — 2 = 0 и -х + 2у + Ъ = 0. Решение. 1) Составим систему зфавнений и решим ее: . Значит, данные прямые Получили, что х=. ; у—. (т. е. имеют одну общую точку). 2) Составим систему уравнений и решим ее: 85 Получили, что система уравнений . Значит, данные прямые не имеют общих точек, т. е. они . 3) Ответ. 1) . ; 2) ; 3) 77. Расположение прямой относительно системы координат 78. Угловой коэффициент в уравнении прямой 79. График линейной функции Если в уравнении прямой ах + Ьу + с = 0)‘. 1) а = 0, f5*0, то прямая параллельна оси абсцисс; 2) Ь = 0, а 5^ О, с 5^0, то прямая параллельна оси ординат; 3) с = 0, то прямая проходит через начало координат. (При с = 0 прямая совпадает с осью абсцисс; при 6 = 0 прямая совпадает с осью ординат.) . У; 1 У) т 1 т О О ах 1 by 1 с — 0 X О X а ^ о, Ь = о, с ^ о 204 Какие координатные оси пересекает прямая, заданная уравнением: 1) 2л:-5у + 4 = 0; 2) Зу-х + 6 = 0; 3) 7х + 3у = 0; 4) 9л:-10 = 0; 5) 4у-8 = 0? Решение. 1) В данном уравнении а^О, Ь^О, с^^О. Следовательно, прямая пересекает координатные оси в двух различных точках. 86 2) 3) В данном уравнении а^О, Ь^О, с = 0. Это значит, что координаты начала координат, т. е. (О; 0) удовлетворяют уравнению. Следовательно, данная прямая пересекает обе координатные оси в их общей точке. 4) В данном уравнении а. 0, Ь. 0, с. 0. Следовательно, данная прямая параллельна оси . и пересекает ось . 5) . 205 «/ii Т 1— н—I—I—h О Постройте в декартовой системе координат прямую, которая задана уравнением: 1) х + 2у

у-0; 3) 2л:-6 = 0; 4) Зг/ + 6 = 0; 5) 2х + у-2 = 0. Решение. 1) Данная прямая пересекает оси координат в двух точках (так как а^О, Ь^О, ci^O). Найдем координаты этих точек. Пусть лг = 0, тогда 2у-4 = 0, . , у=. Значит, первая точка — А ( Найдем координаты второй точки. Пусть у = — . , х =. Значит, вторая точка — В ( Отметим эти точки на рисунке и проведем через них прямую т^. 2) Данная прямая проходит через начало координат (так как..). Найдем координаты второй точки прямой. Пусть . . )• тогда . ). Отметим на рисунке указанную точку и проведем прямую т.^. 3) Данная прямая . оси . (так как о . 0, Ь. о, с.. 0). Найдем координаты одной точки этой прямой, на- пример точки, в которой прямая пересекает ось абсцисс. Ее ордината равна нулю. Вычислим теперь ее абсциссу, используя данное уравнение: . , х=. Отметим на рисунке точку с координатами (. ; 0) и проведем через нее прямую т^, параллельную оси . 4) 87 5) 206!——————————— ____I Составьте уравнение прямых m,, т^, т^, т^, которые изображены на рисунке: 1n^\Ox, то^ЦОл:, mJOy, mjOy. Решение. 1) Все точки прямой имеют равные ординаты: у =. Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению 0-х + г/-2 = 0. (Отметим, что в этом уравнении а = 0, Ь^О, с^О.) Всякое решение этого уравнения, например л: = 5, у —2, задает точку, которая лежит на прямой т,. 2) . У1 1 тз 2 ‘ ‘ -2 О -2- 2 X 3) Все точки прямой имеют равные абсциссы: х=. Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению X—. =0. Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению . (Отметим, что в этом урав- нении 0 5^0, 6 = 0, с 5^0.) Всякое решение этого уравнения, например х=. , у =. , задает точку, которая принадлежит прямой т^. 4) . 88 Ответ. 1) wi,: у-. = О; 2) т^: 3) т^: X-. = 0; 4) т^: О Уравнение прямой с угловым коэффициентом k — это уравнение прямой, записанное в виде y = kx + l. Если прямая проходит через точки А (Xj; г/j) и В (х^; у^), то k = ^’

х^-х, • 1^1 равен тангенсу острого угла, образованного прямой с осью абсцисс; I — ордината точки пересечения прямой с осью ординат. j/i) 1 1 ^ ! 1 1 |ft|= i ‘ 1 = tga . ах + by + с = 0,by — -ах — с При а о У=-^х+(-^) y=kx+l Найдите значения k и I в уравнении y = kx + l, если прямая задана уравнением: 1) Зл:-1-у-4 = 0; 2) Зх-у-5 = 0; 3) 4х + 2у-3 = 0; 4) х-Зу + 6 — 0; 5) л:-г/-1-4 = 0. Решение. 1) Преобразуем данное уравнение так, чтобы в левой его части получить переменную у: у=. В этом уравнении к —.. , 1 =. 2) -г/ = -Здг-4- 5, у=. В этом уравнении к =.. , 1 =.. 3) 2у = — 4х-¥3, у=. В этом уравнении к =.. , 1 =.. 4) . 5) 89 Найдите градусную меру острого угла, который образует с осью абсцисс прямая, заданная уравнением: 1) Вх-у + 2 = 0; 2) -»3л: + 3у-3 = 0; 3) -д:-1-//-4 = 0; 4) 5х

5у + 4 = 0; 5) -2jc + 2’3i/-3 = 0; 6) -х + у = 0. Решение. 1) Преобразуем данное уравнение: -у =

Видео:7 класс, 9 урок, Градусная мера углаСкачать

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Видео:Измерения углов. Градусная мера. 7 класс. Геометрия.Скачать

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов углы являются внешними.

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника.

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом.

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если то параллелограмм является ромбом.

Доказательство теоремы 1.

Дано: ромб.

Докажите, что

Доказательство (словестное): По определению ромба При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что равнобедренный. Медиана (так как ), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Так как является прямым углом, то . Аналогичным образом можно доказать, что

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

• 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
• 2. Все стороны конгруэнтны.
• 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
• 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

• 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
• 2. Все углы прямые.
• 3. Все стороны конгруэнтны.
• 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны.

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.

План доказательства теоремы 2

Дано: равнобедренная трапеция.

Докажите:

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если тогда Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку проведем параллельную прямую к прямой

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике через точку — середину стороны проведите прямую параллельную Какая фигура получилась? Является ли трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Можно ли утверждать, что

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине

Доказательство. Пусть дан треугольник и его средняя линия Проведём через точку прямую параллельную стороне По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны т.е. совпадает со средней линией Т.е. средняя линия параллельна стороне Теперь проведём среднюю линию Т.к. то четырёхугольник является параллелограммом. По свойству параллелограмма По теореме Фалеса Тогда Теорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Через точку и точку середину проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной через

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки и и точка которая является серединой отрезка

то а отсюда следует, что

2) По теореме Фалеса, если точка является серединой отрезка то на оси абсцисс точка является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках и

3) Координаты середины отрезка с концами и точки находятся так:

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

• различать рациональные и иррациональные числа;
• упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
• решать задания на извлечение квадратного корня;
• основам теоремы Пифагора;
• решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки как показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах:

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если то, — прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа являются Пифагоровыми тройками, то и числа также являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой —

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой.

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, , стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: =40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В + CD (по неравенству треугольника). Тогда . Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) . Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Решение:

(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично (АВ CD, ВС-секущая), (ВС || AD, CD — секущая), (АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Доказательство. по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм.

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

1. противоположные стороны равны;
2. противоположные углы равны;
3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что . по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что . Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: . По свойству углов четырёхугольника,

Следовательно, : 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать:

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому .

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором (рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. по двум сторонами и углу между ними.

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, по условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

• либо все стороны равны (определение ромба),
• либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки и Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках При помощи циркуля сравните длины отрезков Сделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Проведём через точки прямые параллельные ВС. по стороне и прилежащим к ней углам. У них по условию, как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что и как противоположные стороны параллелограммов

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Проведём прямую . Через точки проведём прямые, параллельные прямой . По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия , так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: (рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Доказать:

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия . Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: . По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно,

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Поэтому . КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КР, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку = 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать:

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. no стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, как вертикальные, внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и равнобедренный. Поэтому соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: — вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать:

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом . По свойству внешнего угла треугольника, — равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:

Из доказанного в первом случае следует, что измеряется половиной дуги AD, a — половиной дуги DC. Поэтому измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда:

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°.

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому , так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно,

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, (рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около (рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо:

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность.

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Доказать:

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует:

Тогда

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225).

Докажем, что . В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, . По свойству равнобокой трапеции,

Тогда и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника вписанного в окружность. Действительно,

Следовательно, четырёхугольник — вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

• Площади фигур в геометрии
• Площади поверхностей геометрических тел
• Вычисление площадей плоских фигур
• Преобразование фигур в геометрии
• Парабола
• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Задача про градусную меру углов. Геометрия 7 класс.Скачать

9. Градусная мера углаСкачать

Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Угол. 7 класс.Скачать

Построение углов заданной градусной мерыСкачать

Градусная мера угла. Угол в 1 градус. Острый, прямой, тупой углы.Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Задачи: определение градусных мер углов №1Скачать

Градусная мера углаСкачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Угол. Градусная мера угла. 5 класс.Скачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

Градусная мера угла. 9 класс.Скачать

Угол. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать