- Длина вектора — основные формулы
- Длина вектора через координаты точек его начала и конца
- Нахождение длины вектора по теореме косинусов
- Модуль вектора. Длина вектора.
- Определение длины вектора
- Формулы длины вектора
- Формула длины вектора для плоских задач
- Формула длины вектора для пространственных задач
- Формула длины n -мерного вектора
- Примеры задач на вычисление длины вектора
- Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи
- Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи
- Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3
- Вычисление длины (модуля) вектора в EXCEL
- 1. Вычисление длины вектора по его координатам
- 2. Нахождение длины вектора через координаты точек
- 3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов
- 4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника
- 5. Нахождение координат вектора через координаты точек
- 🎬 Видео
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Длина вектора — основные формулы
Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.
Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .
От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .
Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .
Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .
Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.
Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.
Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)
В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.
Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .
Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Длина вектора через координаты точек его начала и конца
Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.
Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2
А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле
A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2
Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .
Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .
Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —
Ответ: A B → = 20 — 2 3 .
Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .
Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2
Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :
26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать
Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.
Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.
Рассмотрим такой случай на следующем примере.
Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .
Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .
Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.
Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
Модуль вектора. Длина вектора.
Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Определение длины вектора
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Видео:МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 классСкачать
Формулы длины вектора
Формула длины вектора для плоских задач
В случае плоской задачи модуль вектора a = < ax ; ay > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула длины вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи модуль вектора a = < ax ; ay ; az > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула длины n -мерного вектора
В случае n -мерного пространства модуль вектора a = < a 1 ; a 2; . ; an > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
| a | = ( | n | ai 2 ) 1/2 |
Σ | ||
i =1 |
Видео:Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.Скачать
Примеры задач на вычисление длины вектора
Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи
Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 = √ 4 + 16 = √ 20 = 2√ 5 .
Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.
Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи
Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.
Решение: | a | = √ (-1) 2 + 0 2 + (-3) 2 = √ 1 + 0 + 9 = √ 10 .
Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3
Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5
Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19 .
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Вычисление длины (модуля) вектора в EXCEL
history 14 декабря 2015 г.
- Группы статей
- Пользовательский формат
- Векторы
Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).
Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.
Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
1. Вычисление длины вектора по его координатам
Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a x и a y , то длину вектора можно найти по формуле
В случае вектора в пространстве добавляется третья координата
В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9 , см. файл примера ).
Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле = B8*B8+B9*B9 .
В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.
Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)) .
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№8 - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.)Скачать
2. Нахождение длины вектора через координаты точек
Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))
В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.
Функция СУММКВРАЗН() в озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.
По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.
Видео:Модуль вектора. Длина вектора.Скачать
3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).
Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))
В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 — угол между ними в радианах (в долях числа ПИ() ).
Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))
Примечание : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить пользовательский формат , см. например, статью Отображение широты и долготы в MS EXCEL
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника
Пусть заданы 3 точки треугольника, образованного векторами.
Найдем длину вектора ВС через координаты соответствующих точек (аналогично 2-й задаче, рассмотренной выше) по формуле =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C54:C55;D54:D55)) .
Зная координаты точек можно найти все длины сторон (длины векторов) и углы треугольника (по теореме косинусов).
Видео:Координаты вектора. Длина вектора. Геометрия 9Скачать
5. Нахождение координат вектора через координаты точек
Сделаем в MS EXCEL удобную форму для вычисления координат вектора и его длины через координаты точек. Также отобразим как сами точки, так и сам вектор.
🎬 Видео
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Нахождение длины вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
КВАДРАТ ДЛИНЫ ВЕКТОРА ?/ Новое задание из ЕГЭ разбор #профиль #егэ #27731Скачать
§7 Направляющие косинусы вектораСкачать
Формулы векторов через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Длина вектора. The length of the vector.Скачать