Вторично описанная окружность это

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Вторично описанная окружность этоСерединный перпендикуляр к отрезку
Вторично описанная окружность этоОкружность описанная около треугольника
Вторично описанная окружность этоСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Вторично описанная окружность этоДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Вторично описанная окружность это

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Вторично описанная окружность это

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Вторично описанная окружность это

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Вторично описанная окружность это

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Вторично описанная окружность это

Вторично описанная окружность это

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Вторично описанная окружность это

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Вторично описанная окружность это

Вторично описанная окружность это

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Вторично описанная окружность это

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вторично описанная окружность это,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вторично описанная окружность это

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Вторично описанная окружность этоВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаВторично описанная окружность этоОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВторично описанная окружность этоЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВторично описанная окружность этоЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовВторично описанная окружность это
Площадь треугольникаВторично описанная окружность это
Радиус описанной окружностиВторично описанная окружность это
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Вторично описанная окружность это

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаВторично описанная окружность это

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиВторично описанная окружность это

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВторично описанная окружность это

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВторично описанная окружность это

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовВторично описанная окружность это

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вторично описанная окружность это,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаВторично описанная окружность это

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиВторично описанная окружность это

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вторично описанная окружность это

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Вторично описанная окружность это

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Вторично описанная окружность это

Вторично описанная окружность это.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Вторично описанная окружность это

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вторично описанная окружность это

Около Вторично описанная окружность этоописана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что Вторично описанная окружность это

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если Вторично описанная окружность этоа радиус описанной окружности равен 18.

а) Обозначим углы треугольника ABC: Вторично описанная окружность это Вторично описанная окружность это Вторично описанная окружность этоЗаметим, что Вторично описанная окружность это Вторично описанная окружность этокак вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично Вторично описанная окружность этоТогда Вторично описанная окружность этоНо Вторично описанная окружность этоследовательно, треугольник AOP — равнобедренный, а тогда Вторично описанная окружность это

б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 o , следовательно, Вторично описанная окружность это Вторично описанная окружность этокак хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC — равносторонний. Искомое расстояние d равно его высоте: Вторично описанная окружность это

По теореме синусов,

Вторично описанная окружность это

Следовательно, Вторично описанная окружность это

Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о Трезубце):

1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.

2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.

Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Описанная окружностьСкачать

Описанная окружность

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Вторично описанная окружность это

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Вторично описанная окружность этоАВС.

Доказать: около Вторично описанная окружность этоАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Вторично описанная окружность этоАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Вторично описанная окружность это

Точка О равноудалена от вершин Вторично описанная окружность этоАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Вторично описанная окружность этоАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Вторично описанная окружность это

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Вторично описанная окружность это

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Вторично описанная окружность этоВ = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоАDС, Вторично описанная окружность этоD = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоАВС, откуда следует Вторично описанная окружность этоВ + Вторично описанная окружность этоD = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоАDС + Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоАВС = Вторично описанная окружность это(Вторично описанная окружность этоАDС + Вторично описанная окружность этоАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вторично описанная окружность этоАDС + Вторично описанная окружность этоАВС = 360 0 , тогда Вторично описанная окружность этоВ + Вторично описанная окружность этоD = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность это360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Вторично описанная окружность этоBАD + Вторично описанная окружность этоBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Вторично описанная окружность это

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Вторично описанная окружность это

Вторично описанная окружность этоВСDвнешний угол Вторично описанная окружность этоСFD, следовательно, Вторично описанная окружность этоBСD = Вторично описанная окружность этоВFD + Вторично описанная окружность этоFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Вторично описанная окружность этоВFD = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВАD и Вторично описанная окружность этоFDE = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Вторично описанная окружность этоBСD = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВАD + Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоЕF = Вторично описанная окружность это(Вторично описанная окружность этоВАD + Вторично описанная окружность этоЕF), следовательно, Вторично описанная окружность этоВСDВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВАD.

Вторично описанная окружность этоBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вторично описанная окружность этоBАD = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВЕD, тогда Вторично описанная окружность этоBАD + Вторично описанная окружность этоBСDВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность это(Вторично описанная окружность этоВЕD + Вторично описанная окружность этоВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вторично описанная окружность этоВЕD + Вторично описанная окружность этоВАD = 360 0 , тогда Вторично описанная окружность этоBАD + Вторично описанная окружность этоBСDВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность это360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Вторично описанная окружность этоBАD + Вторично описанная окружность этоBСDВторично описанная окружность это180 0 . Но это противоречит условию Вторично описанная окружность этоBАD + Вторично описанная окружность этоBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Вторично описанная окружность это

По теореме о сумме углов треугольника в Вторично описанная окружность этоВСF: Вторично описанная окружность этоС + Вторично описанная окружность этоВ + Вторично описанная окружность этоF = 180 0 , откуда Вторично описанная окружность этоС = 180 0 — ( Вторично описанная окружность этоВ + Вторично описанная окружность этоF). (2)

Вторично описанная окружность этоВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вторично описанная окружность этоВ = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоЕF. (3)

Вторично описанная окружность этоF и Вторично описанная окружность этоВFD смежные, поэтому Вторично описанная окружность этоF + Вторично описанная окружность этоВFD = 180 0 , откуда Вторично описанная окружность этоF = 180 0 — Вторично описанная окружность этоВFD = 180 0 — Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Вторично описанная окружность этоС = 180 0 — (Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоЕF + 180 0 — Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВАD) = 180 0 — Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоЕF — 180 0 + Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВАD = Вторично описанная окружность это(Вторично описанная окружность этоВАDВторично описанная окружность этоЕF), следовательно, Вторично описанная окружность этоСВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВАD.

Вторично описанная окружность этоА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вторично описанная окружность этоА = Вторично описанная окружность этоВторично описанная окружность этоВЕD, тогда Вторично описанная окружность этоА + Вторично описанная окружность этоСВторично описанная окружность этоВторично описанная окружность это(Вторично описанная окружность этоВЕD + Вторично описанная окружность этоВАD). Но это противоречит условию Вторично описанная окружность этоА + Вторично описанная окружность этоС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🎥 Видео

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTA

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Занятие 9. Вписанная и описанная окружности. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 9. Вписанная и описанная окружности. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ
Поделиться или сохранить к себе: