Как найти площадь окружности по длине дуги

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Как найти площадь окружности по длине дугиОсновные определения и свойства. Число π
Как найти площадь окружности по длине дугиФормулы для площади круга и его частей
Как найти площадь окружности по длине дугиФормулы для длины окружности и ее дуг
Как найти площадь окружности по длине дугиПлощадь круга
Как найти площадь окружности по длине дугиДлина окружности
Как найти площадь окружности по длине дугиДлина дуги
Как найти площадь окружности по длине дугиПлощадь сектора
Как найти площадь окружности по длине дугиПлощадь сегмента

Как найти площадь окружности по длине дуги

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьКак найти площадь окружности по длине дуги
ДугаКак найти площадь окружности по длине дуги
КругКак найти площадь окружности по длине дуги
СекторКак найти площадь окружности по длине дуги
СегментКак найти площадь окружности по длине дуги
Правильный многоугольникКак найти площадь окружности по длине дуги
Как найти площадь окружности по длине дуги
Окружность
Как найти площадь окружности по длине дуги

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаКак найти площадь окружности по длине дуги

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругКак найти площадь окружности по длине дуги

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторКак найти площадь окружности по длине дуги

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментКак найти площадь окружности по длине дуги

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникКак найти площадь окружности по длине дуги

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Как найти площадь окружности по длине дуги

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Как найти площадь окружности по длине дуги

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Формулы для площади круга и его частей

Как найти площадь окружности по длине дуги,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в градусах

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаКак найти площадь окружности по длине дуги
Площадь сектораКак найти площадь окружности по длине дуги
Площадь сегментаКак найти площадь окружности по длине дуги
Площадь круга
Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораКак найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаКак найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиКак найти площадь окружности по длине дуги
Длина дугиКак найти площадь окружности по длине дуги
Длина окружности
Как найти площадь окружности по длине дуги

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиКак найти площадь окружности по длине дуги

если величина угла α выражена в радианах

Как найти площадь окружности по длине дуги,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:№1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°Скачать

№1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°

Длина окружности

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Как найти площадь окружности по длине дуги

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти площадь окружности по длине дуги

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти площадь окружности по длине дуги

из которой вытекает равенство:

Как найти площадь окружности по длине дуги

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти площадь окружности по длине дуги

из которой вытекает равенство:

Как найти площадь окружности по длине дуги

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти площадь окружности по длине дуги

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти площадь окружности по длине дуги

из которой вытекает равенство:

Как найти площадь окружности по длине дуги

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти площадь окружности по длине дуги

из которой вытекает равенство:

Как найти площадь окружности по длине дуги

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти площадь окружности по длине дуги

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

Как найти площадь окружности по длине дуги

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Площадь круга: как найти, формулы

Как найти площадь окружности по длине дуги

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Сегмент окружности - как найти площадь фермы для кровли.Скачать

Сегмент окружности - как найти площадь фермы для кровли.

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Задача: определить площадь круга, если известна длина окружности

Как найти площадь окружности по длине дуги

Видео:Площадь сектораСкачать

Площадь сектора

Условие задачи:

Длина окружности 5 м. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Как найти площадь окружности по длине дуги

Дано:
Длина окружности, L = 5 м

Пояснение к рисунку:
O — центр окружности

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Найти площадь круга: S

Используем формулу площади круга через радиус. Но нам пока не известен радиус, его надо найти.

Как найти площадь окружности по длине дуги

Определить радиус, нам поможет формула длины окружности.

Как найти площадь окружности по длине дуги

После преобразования, выразим радиус через длину окружности и подставим значения.

Как найти площадь окружности по длине дуги

Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли π ≈ 3.14

Получили значение радиуса окружности.

Как найти площадь окружности по длине дуги

В формулу площади круга, подставляем найденное значение радиуса.

Как найти площадь окружности по длине дуги

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Ответ:

Как найти площадь окружности по длине дуги

Если в формулу площади круга подставить выраженный радиус через длину окружности, то получим следующую формулу, в которой площадь круга сразу выражена через длину окружности. Проверим, подставив наше значение

💡 Видео

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика
Поделиться или сохранить к себе: