Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.

Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникамСхема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне: Вся теория по треугольникам и четырехугольникам Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникамВ равнобедренной трапеции

  • углы при основании равны,
  • проекции боковых сторон на основание равны: Вся теория по треугольникам и четырехугольникам.

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Параллелограм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: Вся теория по треугольникам и четырехугольникамВ параллелограмме:

  • противоположные стороны и противоположные углы равны
  • диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

или произведению сторон на синус угла между ними:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

  • противоположные углы равны
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам
  • диагонали взаимно перпендикулярны
  • диагонали ромба являются биссектрисами углов

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникамВся теория по треугольникам и четырехугольникам

или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

  • все углы равны 90 градусов
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам
  • диагонали взаимно перпендикулярны
  • диагонали являются биссектрисами углов
  • диагонали равны

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

  • Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
  • Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Тогда, сумма углов треугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Формула Герона для площади треугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

  • Все три медианы пересекаются в одной точке.
  • Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
  • В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

  • Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
  • Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Теорема косинусов:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Теорема синусов:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь правильного треугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

  • По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
  • По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Некоторые свойства трапеций:

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
  • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
  • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
  • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  • Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

Квадрат

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

Ромб и прямоугольник

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Свойства ромба:

  • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
  • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Произвольные фигуры

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Многоугольники

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Число диагоналей всякого многоугольника равно (где: n – число сторон):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Внутренний угол правильного многоугольника равен:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Центральный угол правильного n-угольника равен:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, длиной стороны a, радиусом описанной окружности R, полупериметром p и радиусом вписанной окружности r, может быть рассчитана по следующим формулам:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Окружность

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Теорема о касательной и секущей:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Теорема о двух секущих:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Свойство центральных углов и хорд:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Свойство центральных углов и секущих:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Длина окружности:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Длина дуги окружности:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь круга:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Площадь кругового сегмента:

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Вся теория по треугольникам и четырехугольникамВся теория по треугольникам и четырехугольникам

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

Видео:🔥Вся теория по четырёхугольникам и окружностям второй части ЕГЭ за 1,5 часа🔥Скачать

🔥Вся теория по четырёхугольникам и окружностям второй части ЕГЭ  за 1,5 часа🔥

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение четырехугольника
  • Выпуклые четырехугольники
  • Параллелограмм

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Вся теория по треугольникам и четырехугольникам

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Геометрия. Вся теория по четырехугольникам. Задача №12Скачать

Геометрия. Вся теория по четырехугольникам. Задача №12

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:Вся теория по четырехугольникам. Все прототипы №17 из ОГЭ-2024 по математике| РозыгрышСкачать

Вся теория по четырехугольникам. Все прототипы №17 из ОГЭ-2024 по математике| Розыгрыш

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 8 КЛАСС с примерамиСкачать

ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 8 КЛАСС с примерами

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

🌟 Видео

Геометрия. Вся теория по треугольникам. Задача №12Скачать

Геометрия. Вся теория по треугольникам. Задача №12

Планиметрия | Вся теория!Скачать

Планиметрия | Вся теория!

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Вся теория по четырехугольникам для сдачи ЕГЭ и ОГЭ ЗА 15 МИНУТ!!!Скачать

Вся теория по четырехугольникам для сдачи ЕГЭ и ОГЭ ЗА 15 МИНУТ!!!

Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: